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Nullstellen einer Kurvenschar

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion, Kurvenschar, Nullstellen, Untersuchung

 
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mioumouse

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17:58 Uhr, 18.03.2013

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Zur Vorbereitung auf die Klausur haben wir eine Kurvenschar bekommen. Nun sollen wir von folgender Funktion die Nullstelle bestimmen.

f(x) = -2x/a * e^(a-x)

Die Ableitungen habe ich schon alle abgeleitet. Jetzt klemmts aber bei der Nullstelle am e und am Parameter a.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Ma-Ma

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18:06 Uhr, 18.03.2013

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f(x)=-2xaea-x

Ein Produkt wird NULL, wenn ein Faktor Null ist.

Welcher Faktor kann hier NULL werden ?

Ich schreib´s jetzt nochmal ganz extrem auseinandergezogen:

f(x)=(-2)x1aea-x


mioumouse

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18:10 Uhr, 18.03.2013

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Na x muss 0 sein.
Antwort
Ma-Ma

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18:27 Uhr, 18.03.2013

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Richtig. Damit hast Du Deine Nullstelle ...
mioumouse

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18:38 Uhr, 18.03.2013

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Na jetzt soll ich noch Extrema bestimmen. Da muss ich die erste Ableitung gleich 0 setzen. Und das erscheint mir noch schwerer.
Wie geht das??
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Ma-Ma

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18:41 Uhr, 18.03.2013

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NA, Nullstelle war doch gaaaaaaaaaanz leicht, oder ?

Extremwerte:
Wie lautet Deine 1. Ableitung ?

mioumouse

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19:00 Uhr, 18.03.2013

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f'(x)=-2a*ea-x(x-1)

x muss wieder 0 sein um weiterrechnen zu können oder???
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Ma-Ma

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19:03 Uhr, 18.03.2013

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EIN FAKTOR muss Null werden.
Werfe doch mal einen Blick auf den letzten Term. Das geht was ...

0=(x-1)
0=x-1

x=... ?

(Das war doch wirklich einfach, findest Du nicht auch ? *schmunzel*)

mioumouse

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19:06 Uhr, 18.03.2013

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x ist 1 ^^ .. Aber ich finde das ist durch das barocke Etwas da vorne so schwer zu erkennen.
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Ma-Ma

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19:11 Uhr, 18.03.2013

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Alles richtig.

"Barockes Etwas" .... damit meinst Du das Geraffel vor der Klammer (x-1)?

Wichtig, die Produktregel zu kennen, dan ist´s leicht.

Ist die Aufgabe nun fertig oder gibt es noch weitere Aufgabenteile ?
Evtl. bestimmen, ob Min. oder MAx. ?


mioumouse

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19:16 Uhr, 18.03.2013

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Also Hab jetzt Wendepunkte und Extrema weitestgehend bestimmt .. Hoffe nur dass es richtig ist.
Danke trotzdem für die Hilfe.
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Ma-Ma

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19:22 Uhr, 18.03.2013

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Beachte, das Extrempunkt die Koordinaten x und y hat.
Solltest evtl. noch prüfen, ob Min oder MAx.

Kannst gerne auch den Wendepunkt posten, ich rechne dann nochmal nach.

LG Ma-Ma

mioumouse

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19:42 Uhr, 18.03.2013

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Der Wendepunkt wird bestimmt durch die notwendige Bedingung.
f''(x) = 0
x ist in diesem Fall 2, denke ich.

Dann kommt die hinreichende Bedingung.
Das setze ich in die 3. Ableitung ein.
Es liegt ein Wendepunkt vor an dem Punkt (2/-4a*ea-2)
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

19:52 Uhr, 18.03.2013

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Diesen Wendepunkt hab ich auch. Alles prima !
mioumouse

mioumouse aktiv_icon

20:00 Uhr, 18.03.2013

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juuhuu ^^ .. der punkt ist mir sicher haha :-D)

und jetzt kommt die ortskurve des wendepunktes .. wie gehe ich vor?? ..
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

20:19 Uhr, 18.03.2013

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Übrigens, ich hatte den Wendepunkt noch vereinfacht:

W(2|-4e2eaa)

Ortskurve Wendepunkte:

x=2
y=-4aea-2

Normalerweise setzt man jetzt x "in" y ein, damit man ein y(x) bzw. f(x) bekommt.
Da in y aber kein x vorkommt, kann man nix einsetzen.

Die Wendepunkte liegen also immer bei x=2 und
y(x=2)=-4aea-2

Es ergibt sich eine senkrechte Gerade.

Zeiche Dir mal die Kurven für a=1 und a=2 und a=3 auf (oder nimm ein Oline-Zeichenprogramm).



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