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Parameterintegrale: Leibnizregel zeige f(x)=g(x)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ableitung, Integration, Leibniz Kriterium, Leibnizregel, Parameterintegral

 
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Hinata

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16:00 Uhr, 22.08.2022

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Hallo,
ich habe versucht bei folgender Aufgabe c) zu bearbeiten. Ich habe f(x)=ln(x) und g(x) als das gegebene Integral definiert und wollte zeigen, dass f'(x)=g'(x) ist und f(x0)=g(x0) für x0=1. An sich komme ich damit auch recht einfach zum Ziel, da sich das Integral mit der Leibnizregel sehr einfach ableiten lässt und 1x ergibt.
Nun aber zu meiner eigentlichen Frage: Ich kann die Leibnizregel ja nur anwenden, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind. Meines Wissens lauten die, dass G(X):=das Integral auf einer Menge MX[a,b] definiert sein muss, wobei M eine nichtleere, offene Teilemenge von R ist und [a,b] ein Intervall, wobei x aus M und t aus [a,b] ist. Außerdem muss K(x,t) als das Innere des Integrals stetig auf MX[a,b] sein. Nun ist bei dieser Aufgabe ja K(x,t) nur auf ]0,unendlich[X]0,unendlich[ definiert, also ist t nicht Element aus einem abgeschlossenen Intervall. Also kann ich die Leibnizregel so gar nicht anwenden, oder?

Screenshot 2022-08-22 at 15.49.38
Screenshot 2022-08-22 at 16.00.00

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Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:55 Uhr, 23.08.2022

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Für den exp-Teil z.B. würde ich da sowas in der Art zu friemeln versuchen:

Sei K>0. Dann gilt

de-t-e(-x⋅t)tdx=e-x⋅t stetig   ∀(x,t)∈]0,∞[×[0,K]

wie auch

∫0Ke-x⋅t⋅dt=-1x⋅e-x⋅t|0K=1x⋅(1-e-x⋅K)  ∀x∈]0,∞[

und somit

PK(x)=∫0Ke-t-e(-x⋅t)t⋅dt

für eine stetige Funktion PK mit dPK(x)dx=1x⋅(1-e-x⋅K)

und PK(1)=0.

Wegen 1x⋅(1-e-x⋅K)→1x  (K→∞)

gilt zudem

PK(x)→ln(x)  (K→∞).
Frage beantwortet
Hinata

Hinata aktiv_icon

08:57 Uhr, 24.08.2022

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Vielen Dank!