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Polynome in Klammern ableiten?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Klammern, Nullstell, polynom

Ofenpilz aktiv_icon

08:09 Uhr, 17.02.2017

Hallo,

ich kann normale Polynomfunktionen ausklammern, Nullstellen berechnen usw.
Jetzt treff ich auf eine Gleichung wo ich keine Ahnung hab wie ich das ableiten, Nullstellen berechnen soll.
Beispiel:

\frac{1}{10} (- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 56)

Und was ist wenn hinten dran noch eine Zahl steht?

Vielen Dank im Voraus!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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pivot aktiv_icon

08:43 Uhr, 17.02.2017

Hallo,

\frac{1}{10}

ist eine Konstante. Somit reicht es wenn du die Klammer ableitest und den die Konstante einfach bei behältst. Es gilt

{(c \cdot f (x))}^{ʹ} = c \cdot f^{ʹ} (x)

, wobei c eine Konstante ist.

Nullstellen:

Der Term (das Produkt) soll gleich Null sein. Hier gilt der alte Satz:

"Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist."

Somit muss sogar der Term in der Klammer gleich

0

sein, da der Faktor vornedran nicht Null werden kann. Das würde auch gelten, wenn der Faktor hinten stehen würde.

Wenn eine ganzzahlige Nullstelle existiert, dann ist sie ein Faktor der Konstanten

56

. In dem Fall musst die positiven und negativen Werte von 2,4,7,8,14,28 und 56 durchprobieren bis du einen Wert gefunden hast.

Gruß

pivot

Ofenpilz aktiv_icon

08:56 Uhr, 17.02.2017

Ok, danke. Aber was enau soll ich jetzt in der Klammer ableiten? Konstante fällt weg?
Vielleicht kannst du es einmal vorrechnen für mich

pivot aktiv_icon

09:07 Uhr, 17.02.2017

Ja, die Konstante fällt weg. Der abgeleitete Term in der Klammer ist

- 3 x^{2} + 18 x - 15

Ofenpilz aktiv_icon

09:15 Uhr, 17.02.2017

Vielen Dank. Kann es sein das ein Exponent über der Klammer steht? Falls ja, was tun?

Edddi aktiv_icon

09:21 Uhr, 17.02.2017

. .

. dann wendest du nach der Konstantenregel die Kettenregel an:

[a \cdot {(...)}^{n}]' = a \cdot [{(...)}^{n}]' = a \cdot n \cdot {(...)}^{n - 1} \cdot (...)'

;-)

Ofenpilz aktiv_icon

09:24 Uhr, 17.02.2017

Du hasst den Schalter umelegt! Danke

pivot aktiv_icon

09:26 Uhr, 17.02.2017

Prinzipiell kann das sein. Hier musst du die Kettenregel anwenden. Nehmen wir mal an f(x) ist eine Funktion in der Klammer und c der Exponent, dann is die Ableitung von

(f (x))^{c}

gleich

c \cdot (f (x))^{c - 1} \cdot f^{ʹ} (x)

.

Beispiel

Die Ableitung von

(x^{2} + 5 x + 2)^{3}

ist

3 \cdot (x^{2} + 5 x + 2)^{2} \cdot (2 x + 5)

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