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Richtungsableitung

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Tags: Ableitung, im Raum, Physik

hanna44 aktiv_icon

23:35 Uhr, 29.10.2012

Hallo an alle!

Ich sitze hier schon seit einer Ewigkeit und stehe total auf der Leitung. Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Bestimmen Sie die Richtungsableitung von Φ = xyz in Richtung

a = (x, y, z)

. Geben Sie diese Richtungsableitung an den Stellen

(1,1,1), (1, - 1, - 1)

und

(- 1, - 1, - 1)

explizit an. In welcher (eventuell anderen) Richtung wäre an diesen Stellen die Richtungsableitung am größten?

Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Danke schon einmal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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michaL aktiv_icon

08:05 Uhr, 30.10.2012

Hallo,

habt ihr denn keine Definition einer Richtungsableitung, die du verwenden könntest?
Wenn doch, warum verwendest du diese nicht?
Wenn ihr keine habt, dann könnte man danach googlen...

Mfg Michael

Sandra88 aktiv_icon

12:19 Uhr, 30.10.2012

Hi! Ich hab grad dieselbe Aufgabe! :-) Ich habs so gemacht:
zuerst habe ich den Gradienten von

φ

berechnet also

δ_{x} φ =

yz (einfach die die Ableitung von xyz nach

x)

δ_{y} φ =

δ_{z} φ =

xy

der Gradient ist also grad

φ = (\begin{matrix} y \cdot z \\ x \cdot z \\ x \cdot y \end{matrix})

Das ganze musst du dann mit dem Einheitsvektor von a multiplizieren.

e_{a} = \frac{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

also

(\begin{matrix} y \cdot z \\ x \cdot z \\ x \cdot y \end{matrix}) \cdot \frac{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = (\begin{matrix} y \cdot z \\ x \cdot z \\ x \cdot y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

= (y \cdot z \cdot x + x \cdot z \cdot y + x \cdot y \cdot z) \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = \frac{3 \cdot x \cdot y \cdot z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

An der Stelle

(1,1,1)

ist es dann:

\frac{3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

Den Rest schaffst jetzt sicher selbst.

hanna44 aktiv_icon

17:23 Uhr, 30.10.2012

Vielen vielen lieben Dank für die ausführliche Hilfe!! Jetzt weiß ich bescheid :-D)

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