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Richtungsableitung mit 3 Variablen, max. Änderung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, max. Änderung, Richtungsableitung, Vektor, Vektorrechnung

techniker123

14:00 Uhr, 18.01.2012

Hallo zusammen!

Zu meiner Frage:

Es ist eine Funktion gegeben:

f (x, y, z) = x^{3} \cdot y \cdot z^{2} + e^{2 x}

Bestimmt werden soll jetzt die Richtungsableitung des Vektors

a = (1,1,1)

(sry, aber konnte den Befehl für den Pfeil auf dem a nicht finden) im Punkt

P (0,3,2)

und die Richtung der maximale Änderung von

f

im Punkt P.

Mein Ansatz war folgender, dass ich zuerst überprüfe, ob die Funktion dort diffbar ist. Das ist sie ja.

Die Richtungsableitung ist ja definiert als:

D_{a} f (P) = lim_{t \to 0} \frac{f (P + t \cdot a) - f (x)}{t}

aber wirklich was anfangen kann ich damit nicht...

: (

Wäre über Hilfe sehr froh!

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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DerDepp aktiv_icon

15:21 Uhr, 18.01.2012

Hossa ;-)

Die Definition der Richtungsableitung von

f

an der Stelle

\vec{p}

in Richtung

\vec{a}

hast du ja bereits (fast) korrekt angegeben:

D_{\vec{a}} f (\vec{p}) = lim_{t \to 0} \frac{f (\vec{p} + t \vec{a}) - f (\vec{p})}{t} = \frac{d}{d t} {(f (\vec{p} + t \vec{a}))}_{t = 0}

Setzen wir

\vec{g} (t) = \vec{p} + t \vec{a}

, so folgt die gesuchte Ableitung direkt aus der Kettenregel:

\frac{d}{d t} {(f (\vec{p} + t \vec{a}))}_{t = 0} = (f \circ \vec{g}) ʹ (0) = \nabla f (\vec{g} (0)) \cdot \vec{a} = \nabla f (\vec{p}) \cdot \vec{a}

Daher gilt für die Richtungsableitung von oben:

D_{\vec{a}} f (\vec{p}) = \nabla f (\vec{p}) \cdot \vec{a}

Jetzt müsstest du die Aufgabe eigentlich gut hinkriegen...

Ok?

techniker123

15:47 Uhr, 18.01.2012

Also:

wir haben somit "Nabla"

f = (3 x^{2} \cdot y \cdot z^{2} + 2 \cdot e^{2 x}, x^{3} z^{2}, 2 x^{3} \cdot y \cdot z),

oder?

Dabn ist

D_{a} f (P) = (2,0,0) \cdot (1,1,1) = (2,0,0)

?

und was bedeutet das jetzt?

Und was ist mit dem Maximum?

Danke schonmal!!!

DerDepp aktiv_icon

17:49 Uhr, 18.01.2012

Hossa ;-)

Ohoh, ich habe in der Aufgabenstellung übersehen, dass der Richtungsvektor

\vec{a}

nicht als Einheitsvektor gegeben ist. Die Richtungsableitung ist aber für Einheitsvektoren definiert. Daher muss

\vec{a}

zuvor normiert werden. In deinem Fall lauten also die Vorgaben:

f (x, y, z) = x^{3} y z^{2} + e^{2 x}; {\vec{a}}^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}); \nabla f (x, y, z) = (\begin{array}{c} 3 x^{2} y z^{2} + 2 e^{2 x} \\ x^{3} z^{2} \\ 2 x^{3} y z \end{array})

Die Richtungsableitung im Punkt

\vec{p}

entlang

\vec{a}

ist also nach meinem vorigen Posting:

D_{\vec{a}} f (\vec{p}) = \nabla f (\vec{p}) \cdot {\vec{a}}^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{array}{c} 3 p_{x}^{2} p_{y} p_{z}^{2} + 2 e^{2 p_{x}} \\ p_{x}^{3} p_{z}^{2} \\ 2 p_{x}^{3} p_{y} p_{z} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = \dots

Das Ausrechnen überlasse ich dir, du hast vermutlich konkrete Koordinaten für den Punkt P :-)

Bei der Richtungsableitung in einem Punkt wird also der Gradient in diesem Punkt auf den Richthungsvektor projeziert. Daher zeigt der Gradient in die Richtung des stärksten Anstiegs und sein Betrag ist der maximal mögliche von allen Richtungsableitungen.

pwmeyer aktiv_icon

18:24 Uhr, 18.01.2012

Hallo,

vielleicht noch der Hinweis für techniker123, dass das Produkt zwischen den Vektoren das Skalarprodukt ist.

Gruß pwm

techniker123

19:19 Uhr, 18.01.2012

Hey Danke!!! Es lichtet sich langsam!!! ;-)

Und die Richtung der

max

. Änderung von

f

im Punkt

P (0,3,2)

ist dann einfach die Richtung von diesem

\nabla f (P),

also

(2; 0; 0),

und da nur die Richtung zählt, einfach entlang der x-Achse.

Wie ist es aber, wenn ich

z . B

. gegeben habe:

f (x, y) = \frac{x^{3}}{x^{2} + y^{2}},

für

(x, y) \neq (0,0)

und

= 0,

für

(x, y) = (0,0)

Es ist gefragt:
Bestimmen Sie die Richtungsableitungen im Ursprung in Richtung aller Vektoren

\vec{n}

mit

| | \vec{n} | | = 1

. Ist die Funktion im Ursprung diff'bar?

Da kommen wir alle zusammen nicht weiter... letzte Hoffnung... onlinemathe.de ;-)

lg

DerDepp aktiv_icon

22:33 Uhr, 18.01.2012

Hossa ;-)

Der Gradient zeigt in diejenige Richtung, in der sich das Feld f am schnellsten ändert. Der Betrag des Gradienten gibt an, wie stark die Änderung in Richtung des Gradienten ist.

Bei deiner zweiten Aufgabe kann man leider die einfache Regel für die Richtungsableitung, also "Gradient mal Richtungs-Einheitsvektor" nicht anwenden, da die Funktion bei (0,0) nicht differenzierbar ist. Du kannst zwar den Gradienten formal berechnen, jedoch kannst du dann nicht den Punkt (0,0) einsetzen. Daher müssen wir, etwas fummelig, über die Definition der Richtungsableitung gehen.

D_{\vec{n}} f (\vec{0}) = lim_{t \to 0} \frac{f (\vec{0} + t \cdot \vec{n}) - f (\vec{0})}{t}

Die Einheitsvektoren

\vec{n}

schreiben wir in Polarkoordinaten:

\vec{n} (ϕ) = (\binom{\cos ϕ}{\sin ϕ}); ϕ \in [0; 2 π [

und bilden damit:

f (\vec{0} + t \vec{n}) = f (t \vec{n}) = \frac{t^{3} \cos^{3} ϕ}{t^{2} \cos^{2} ϕ + t^{2} \sin^{2} ϕ} = \frac{t^{3} \cos^{3} ϕ}{t^{2}} = t \cos^{3} ϕ

Da nach Aufgabenstellung

f (\vec{0}) = 0

gilt, lautet also die Richtungsableitung:

D_{\vec{n} (ϕ)} f (\vec{0}) = lim_{t \to 0} \frac{t \cos^{3} ϕ - 0}{t} = lim_{t \to 0} (\cos^{3} ϕ) = \cos^{3} ϕ

"Alle Richtungen" werden erreicht, indem

0 \leq ϕ < 2 π

eingesetzt wird. Entlang der x-Achse (

ϕ = 0

) ändert sich das Feld

f

also am stärksten.

Ok?

techniker123

23:02 Uhr, 18.01.2012

Ja, vielen Dank! Und auch noch sehr gut erklärt... Das war mir eine sehr große Hilfe, da ich es jetzt sogar verstanden habe!!! ;-)

lg

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