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Rotation berechnen - konservatives Kraftfeld?

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Sonstiges

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Nabla-Operator, Rotation, Sonstiges

miuuu aktiv_icon

18:42 Uhr, 08.01.2012

Guten Abend allerseits :-)

Ich habe folgendes Kraftfeld gegeben
F= (1/(x^2+y^2)) * (-y, x, 0) und soll

a)die Rotation berechnen.
b)die Arbeit, die auf einem Kreis mit Radius R im Kraftfeld F geleistet wird berechnen.

rotF ist ja gleich nabla x F
Für die partiellen Ableitungen habe ich
-2x/(x^2+y^2); -2y/(x^2+y^2) und null ausgerechnet, damit komme ich auf

(-2x/(x^2+y^2);-2y/(x^2+y^2);0) x (-y; x; 0)
=-2x/(x^2+y^2)+(2y/(x^2+y^2))
=-2(x-y)/(x^2+y^2)
F wäre also nicht konservativ, da die Rotation nicht verschwindet.

bei b) bin ich mir nicht sicher, wie man das macht.
Ich hoffe ihr könnt mir vlt weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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21:05 Uhr, 08.01.2012

Hossa ;-)

Das gegebene Kraftfeld liegt in der xy-Ebene:

\vec{F} (x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\begin{array}{c} - y \\ x \\ 0 \end{array})

Für die partiellen Ableitungen gilt:

\partial_{z} F_{x} = \partial_{z} F_{y} = 0; \partial_{x} F_{z} = \partial_{y} F_{z} = 0

\partial_{y} F_{x} = \frac{\partial}{\partial y} (- y (x^{2} + y^{2})^{- 1}) = - (x^{2} + y^{2})^{- 1} + (- y) (- 1) (x^{2} + y^{2})^{- 2} 2 y = - \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{2 y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

\partial_{x} F_{y} = \frac{\partial}{\partial x} (x (x^{2} + y^{2})^{- 1}) = (x^{2} + y^{2})^{- 1} + x (- 1) (x^{2} + y^{2})^{- 2} 2 x = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

Insbesondere folgt für die Diffrenz der beiden letzten partiellen Ableitungen:

\partial_{x} F_{y} - \partial_{y} F_{x} = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 (x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2}{x^{2} + y^{2}} = 0

Daher ergibt sich für die Rotation des Kraftfeldes

\vec{F} (x, y)

\nabla \times \vec{F} = (\begin{array}{c} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \end{array}) \times (\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{array}) = (\begin{array}{c} \partial_{y} F_{z} - \partial_{z} F_{y} \\ \partial_{z} F_{x} - \partial_{x} F_{z} \\ \partial_{x} F_{y} - \partial_{y} F_{x} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = \vec{0}

Mit anderen Worten, es handelt sich bei

\vec{F}

um ein konservatives Kraftfeld. Daher ist in Teil b) die zu berechnende Arbeit auf dem geschlossenen Weg gleich 0.

Ok?

miuuu aktiv_icon

10:38 Uhr, 09.01.2012

uiuiui...
danke für die aufschlussreiche Antwort. Das gibt Sinn.

zu b) habe ich noch gefunden: Die Arbeit entlang einer beliebigen geschlossenen Kurve C innerhalb des Feldes ist gleich Null
(Dies gilt ja für einen Kreis)
Herzlichen Dank!

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