Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Singuläre Punkte einer Kurve berechnen.

Singuläre Punkte einer Kurve berechnen.

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Kurve, Kurvenparameter elliminieren

Simpson aktiv_icon

17:53 Uhr, 15.11.2011

Gegeben ist die Kurve $\vec{f (τ)}$ mit den Komponenten $x (τ) = \cos^{3} (τ)$ und

$y (τ) = \sin (τ)$ für $0 \leq τ < 2 π$

a) man bestimme die Singulären Punkte

b) Elliminieren des Kurvenparameters $τ$ und geben sie y in abhängigkeit von x an.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Simpson aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.11.2011

Kann mir bei der Aufgabe jemand helfen?

Mein Ansatz lautet:

1.Ableitung =0 setzen.

$\overset{}{\overset{\dot{\to}}{f} (τ)} = (\begin{matrix} 3 * \cos^{2} (τ) * (- \sin (τ) \\ \cos (τ) \end{matrix})$

und wie gehts dann weiter?

Sina86

02:59 Uhr, 16.11.2011

Hi,

\cos

und

\sin

haben keine gemeinsamen Nullstellen. Daher können die beiden Komponenten nur zum gleichen Zeitpunkt

τ

=0 werden, wenn die

\cos

Null werden. Und was sind die Nullstellen vom

\cos

auf dem gegebenem Intervall?

Gruß
Sina

Aurel

03:29 Uhr, 16.11.2011

a)

f' (τ) = (\begin{matrix} - sin τ \cdot 3 {cos}^{2} τ \\ cos τ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow

τ_{1} = \frac{π}{2}

τ_{2} = \frac{3 π}{2}

f (\frac{π}{2}) = (\begin{matrix} {cos}^{3} (\frac{π}{2}) \\ sin (\frac{π}{2}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

f (\frac{3 π}{2}) = (\begin{matrix} {cos}^{3} \frac{3 π}{2} \\ sin (3 \frac{π}{2}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})

b)

x = {cos}^{3} τ \Rightarrow \sqrt[3]{x^{2}} = {cos}^{2} τ

II)

y = sin τ \Rightarrow y^{2} = {sin}^{2} τ

- - - - - - - - - - - - - - - -

+

II):

\sqrt[3]{x^{2}} + y^{2} = {cos}^{2} τ + {sin}^{2} τ \Rightarrow

\sqrt[3]{x^{2}} + y^{2} = 1

y (x) = \pm \sqrt{1 - \sqrt[3]{x^{2}}}

hier: tinyurl.com/br2ymu3
sieht man, dass

y (x)

bei

x = 0

nicht differenzierbar ist, somit existiert bei

x = 0

keine eindeutige Tangente, also sind bei

x = 0

singuläre Punkte, nämlich

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})

Simpson aktiv_icon

18:54 Uhr, 16.11.2011

Danke für die ausführliche Lösung!

zu teil a)

ist das dann die Lösung:

$f (π / 2) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) f (\frac{3 π}{2}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})$

zu teil b)

geht man bei solchen aufgaben immer so vor das man quadriert, damit sin^2+cos^2 =1 wird und somit die variable raus fällt?!

kann man das ergbnis ; $y (x) = \sqrt{1 - \sqrt[3]{x^{2}}}$ so stehe lassen, oder noch umformen

auf $y (x) = 1 - \sqrt[3]{x}$ ?

Aurel

00:00 Uhr, 17.11.2011

Hallo Simpson

a) M . E

. ja

b)

es ist vielleicht zumindest einen Versuch Wert, es auszuprobieren, wenns nicht geht dann halt bei Winkelfunktionen mittels der Arcus - Funktionen vorgehen, also

z . B . :

x = {cos}^{3} τ \Rightarrow

\sqrt[3]{x} = cos τ \Rightarrow

a r c c o s \sqrt[3]{x} = τ

- - - - - - -

vielleicht am ehesten so anschreiben:

x^{\frac{2}{3}} + y^{2} = 1,

evt. auch so:

y (x) = \pm \sqrt{1 - \sqrt[3]{x^{2}}}

........Achtung

\pm

y (x) = 1

−

\sqrt[3]{x}

lässt es sich nicht umformen

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

940443

939821

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?