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Stationäre Punkte berechnen

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Differentiation

Funktionen

Tags: Ableitung, Differentiation, Funktion, Partielle Ableitung, Partielle Differentialgleichungen, stationäre punkte

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divad

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15:02 Uhr, 04.01.2019

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Hallo.

Ich habe folgende Funktion gegeben:

f (x, y) = 2 x^{3} -

3xy

+ y^{3}

(a)Bestimmen Sie alle stationären Punkte und klassifizieren Sie diese.
Wenn es keine Lösung gibt, tragen Sie

{}

ein.
Also ich muss:

f (x 1, y 1)

und

f (x 2, y 2)

bestimmen sowie sagen, ob ein lokales Min./Max., Sattelpunkt vorliegt oder keine Aussage möglich ist.

Also muss ich zuerst mal partiell ableiten nach

x

und

y

oder?
nach

x : f' (x, y) = 6 x^{2} - 3 y

nach

y : f' (x, y) = - 3 x + 3 y^{2}

diese dann gleich 0 setzen und nach

y & x

auflösen:

6 x^{2} - 3 y = 0 - - \to + 3 y

6 x^{2} = 3 y - - \to : 3

y = 2 x^{2}

- 3 x + 3 y^{2} = 0 - - \to + 3 x

3 y^{2} = 3 x - - \to : 3

x = y^{2}

nun weiß ich leider nicht mehr weiter..

bei Aufgabe

(b)

komme ich auch nicht weiter, da fehlt mir leider der Ansatz:
Hat die Funktion

z

mit

z (x, y) = {(f (x, y))}^{2},

demnach z(x,y)=(2x^3−3xy+y^3)^2 ein globales Minimum?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Einführung Funktionen
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Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

15:27 Uhr, 04.01.2019

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Hallo,

setze doch einfach

x = y^{2}

bei

y = 2 \cdot x^{2}

ein und erhalte eine Gleichung für

y

.

Gruß pwm

Antwort

godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

16:33 Uhr, 04.01.2019

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f (x, y) := 2 x

³

- 3 x y + y

³

(1)

f_{x} = 6 x

²

- 3 y = 0 \to y = 2 x

²

(

Parabel

) (2 a)

f_{y} = 3 y

²

- 3 x = 0 \to x = y

²

(

liegende Parabel

) (2 b)

Wir schneiden

(2 a)

mit

(2 b),

ihndem wir

y

aus

(2 a)

einsetzen in

(2 b)

x = 4 x^{4} \to P_{1} := (x_{1}, y_{1}) = (0; 0) P_{2} := (x_{2}; y_{2}) = (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}; \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}) (3)

Für die Hessematrix findest du ( bis auf den vernachlässigbaren ggt

= 3)

H = (\begin{matrix} 4 x & - 1 \\ - 1 & 2 y \end{matrix}) (4)

Jetzt sind ganz klar die im vorteil, die aus der QM Vorlesung ihre

\to

Paulimatrizen können. Die Kollegen Mahematiker verkennen völlig, dass sich Paulimatrizen ganz ausgezeichnet für elementare Rechnungen eignen. Für

P_{1}

siehst du nämlich sofort:

H

ist gleich Minus die Paulimatrix

S 3

. Und da jede Paulimatrix Eigenwerte

\pm 1

hat ( Spin up / Down

!)

ergibtg sich

P_{1}

schonmal als Sattelpunkt (SP)
Ich sage immer: SP sind verallgemeinerte Extremata. In einem Unterraum

U_{1}

hast du ein Maximum ( negative Eigenwerte

!)

und in dem dazu senkrechten

U_{2} := U_{1} ⊤

ein Minimum.
Wie gehen wir bei

P_{2}

vor? Als Erstes bestimmen wir das Vorzeichen der Determinante von

H;

ist diese negativ, so ist auch

P_{2}

ein SP, und wir sind fertig. ( Ist sie positiv

\to

Extremum. )

det (H) = 8 x y - 1 = (5 a)

= 2

³

\cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} - 1 = 3 > 0 (5 b)

Also muss die Spur entscheiden; und die ist ( ohne Rechnung

!)

positiv; wir haben ein Minimum.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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