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Tangente an f(x) beweisen, Berührpunkt bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Berührpunkt, f(x), Tangente

Vanessa91 aktiv_icon

16:04 Uhr, 23.09.2009

Ich komme bei meinen Hausaufgaben nicht mehr weiter.

Ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie,dass die Gerade

t

Tangente am den Graphen von

f

ist.
Geben Sie den Berührpunkt an.

b) t : y = \frac{4}{5} x - \frac{8}{5}; f (x) = x^{2} - \frac{4}{x} + 3

Muss ich vielleicht die 1. & 2.Ableitung machen und die Wendepunkte bestimmen und dann die Tangentengleichung aufstellen?!
Aber es gibt bestimmt einen viel einfacheren Weg oder?!

: s

Mir fällt nur nicht ein wie.
& Wie kann ich den oder einen Berührpunkt bestimmen?!

: o

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke schonmal!

Mfg Vanessa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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lepton

16:28 Uhr, 23.09.2009

WP brauchst du hier überhaupt nicht. Du sollst ja schließlich nur den Koordinaten des Berührpunktes ermitteln,

d . h

fürs Berühren gilt:

\Rightarrow f (x) = t (x) \land f' (x) = t' (x)

julin

16:36 Uhr, 23.09.2009

2x-4=45

x1=49/2

y=45x-85

y1=45*(49/2)-85

Berührpunkt=(x1:y1)

Vanessa91 aktiv_icon

16:49 Uhr, 23.09.2009

Wie kommst du auf

2 x - 4 = 45

⊙ o

& wenn ich

t (x) \cdot f' (x) = t' (x)

was habe ich damit?!

Und wie kann ich beweisen,dass die Gerade

t

Tangente vom Graphen

f

ist?

Danke schonmal :-)

julin

17:39 Uhr, 23.09.2009

f'(x)=2x-4

t'(x)=m=45

Beide steigungen sind gleich auf diesen Punkt deswegen 2x-4=45

Vanessa91 aktiv_icon

19:11 Uhr, 23.09.2009

aber die Ausgangsgleichung lautet doch

f (x) = x^{2} - 4

durch

x + 3

dann fällt

x + 3

einfach weg?
Muss man das nicht mit Hilfe der Quotientenregel ableiten?

Und woher weißt du denn,dass

t (x)

die Tangente ist?,wie hast du das bewiesen?

Vanessa91 aktiv_icon

20:31 Uhr, 23.09.2009

& wie führ ich soein Beweis durch?!

Gibt es irgendeine Rheienfolge die ich durchführen kann,dabei?

lepton

21:07 Uhr, 23.09.2009

@ lisaj

Du hast

f

falsch abgeleitet

\Rightarrow s

. Ausgangsgleichung

@ vanessa91

Um den Berührpkt. ermitteln zu können, bildest du die 1.Ableitung sowohl von

f

als auch von

t

und löst die Gleichung nach

x

auf. Somit hast du dann deine Berührstelle

x_{0}

. Diese setzt du dann in

f

ein und hast damit den Koordinaten des Berührpkt.

Berührpkt. allgemein:

B (x_{0} | f (x_{0}))

Was den Beweis angeht, so müssen beide Bedingungen

(s

. mein 1. Beitrag) erfüllt werden.

Vanessa91 aktiv_icon

21:20 Uhr, 23.09.2009

wär dann die Ableitung von

f' (x) :

f' (X) = x^{2} + 6 x - 4

durch

{(x + 3)}^{2}

?!

und

t' : y = \frac{4}{5}

lepton

21:28 Uhr, 23.09.2009

Wie kommst du denn darauf?

Deine Fkt.

f

lautet doch

: f (x) = x^{2} - \frac{4}{x} + 3

\Rightarrow f' (x) = 2 x + \frac{4}{x^{2}}

und

t

hast du richtig abgeleitet

\Rightarrow t' (x) = \frac{4}{5}

Vanessa91 aktiv_icon

21:32 Uhr, 23.09.2009

f (x) = x^{2} - 4

durch

x + 3

man muss doch die quotientenregel benutzen oder?!
also :

u (x) = x^{2} - 4 u' (x) = 2 x

v (x) = x + 3 v' (x) = 1

f' (x) = u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)

durch

v^{2} (x)

also

2 x \cdot (x + 3) - (x^{2} - 4) \cdot 1

durch

{(x + 3)}^{2}

= 2 x^{2} + 6 x - x^{2} - 4

durch

{(x + 3)}^{2}

= x^{2} + 6 x - 4

durch

{(x + 3)}^{2}

oder lieg ich falsch?

lepton

21:38 Uhr, 23.09.2009

Nein, du brauchst hier Quotientenregel überhaupt nicht, denn dein Funktionsterm

f

liegt ja schon in pflegeleichten Summenzustand

\Rightarrow

du wendest nur die Summenregel an

\Rightarrow

Summenregel allgemein:

f (x) = u (x) + v (x) \Rightarrow f' (x) = u' (x) + v' (x)

Vanessa91 aktiv_icon

21:43 Uhr, 23.09.2009

wie lös ich das denn dann nach

x

auf?

lepton

21:51 Uhr, 23.09.2009

Du bekommst eine Gleichung in der Form:

2 x + \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{5} = 0 \Leftrightarrow 5 x^{3} - 2 x^{2} + 10 = 0

Hier haben wir ein Problem, dass wir hier leider keine NS aus

ℚ

haben und deshalb müsste man schon mit gegeignetem Näherungsverfahren

(z . B

. Newton) vorgehen. Diese Gleichung hat für

x

nur eine Lsg. und diese liegt bei

x \approx - 1,1397

Vanessa91 aktiv_icon

21:56 Uhr, 23.09.2009

Du hattest doch gesagt,dass ich erst nach

x

auflösen muss und dann in

f

einsetzen
aber jetzt hast du ja einfach die beiden zusammengefügt

⊙ o

Oder versuchst du zu zeigen,dass

t

die tangente von

f

ist?!.
Aber das geht doch dann auch nicht,weil du doch meintest

f (x) = f (x) \cdot f' (x) = t' (x)

Schreib mir mal bitte deinen Lösungsweg auf

: s

lepton

22:04 Uhr, 23.09.2009

f' (x_{0}) = t' (x_{0})

2 x_{0} + \frac{4}{x_{0}^{2}} - \frac{4}{5} = 0 \Rightarrow x_{0} \approx - 1,1397 \in f

eingesetz

\Rightarrow f (- 1,1397) \approx 7,81 \Rightarrow B (- 1,1397 | 7,81)

lepton

22:11 Uhr, 23.09.2009

Ich wollte mal wissen, ob überhaupt deine Funktionsgleichungen mit

f (x)

und

t (x)

stimmen? Lauten die Funktionsgleichungen vielleicht anders?

Vanessa91 aktiv_icon

22:14 Uhr, 23.09.2009

Ich hab den Graphen mal mit meinem Taschenrechner gezeichnet,aber die Werte passen irgendwie nicht zusammen.
Die brühren sich schon viel früher.

Bei

y

zwischen

- 1

bis

max

+ 1

und

x

ist nur positiv ich kann das nur nicht genau ablesen.

Ich glaub du oder ich oder wir haben irgendwo einen denkfehler

: s

Vanessa91 aktiv_icon

22:15 Uhr, 23.09.2009

Laut Buch lauten sie :

t : y = \frac{4}{5} x - \frac{8}{5}

und

f (x) = x^{2} - 4

durch

x + 3

bla22 aktiv_icon

22:22 Uhr, 23.09.2009

heißt das, dass der Nenner komplett (x+3) ist oder wird, wie du anfangs geschrieben hattest, nur die 4 durch x dividiert?
f(x)= (x^2 -4)/(x+3)
oder f(x) = x^2 -4/x + 3 ??

lepton

22:22 Uhr, 23.09.2009

Schaue dir mal die Zeichnung folgende Zeichnung an, denn die beiden haben nur einen gemeinsamen Schnittpkt. Ich gehe mal stark davon aus, dass die Aufgabenstellung bzw. die Funktionsgleichungen gar nicht stimmen kann.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Vanessa91 aktiv_icon

22:27 Uhr, 23.09.2009

Mh,dann stimmt das Ergebnis aber trotzdem nicht.
Irgendwas haben wir falsch gemacht oder falsch bedacht

lepton

22:31 Uhr, 23.09.2009

Die beiden Funktionen haben nur einen gemeinsamen Schnittpunkt aber keinen Berührpkt. Irgendetwas muss an den Funktionstermen falsch sein. Du bist dir also wirklich sicher, dass die Aufgabe so lautet?

Vanessa91 aktiv_icon

22:33 Uhr, 23.09.2009

Aufgabe lautet:

15)

Zeigen Sie,dass die gerade

t

tangente an den Graphen

f

ist. geben Sie den Berührpunkt an.

b) t : y = \frac{4}{5} x - \frac{8}{5}

f (x) = x^{2} - 4

durch

x + 3

vielleicht ist

t

einfach keine Tangente kann doch auch der Fall sein oder?

bla22 aktiv_icon

22:35 Uhr, 23.09.2009

also heißt f(x) =

\frac{x^{2} - 4}{x + 3}

Vanessa91 aktiv_icon

22:36 Uhr, 23.09.2009

genau!!
Hab das nur nicht hinbekommen,dass so zu zeigen.
Deshalb dacht ich müssen wir die Quotientenregel anwenden

bla22 aktiv_icon

22:39 Uhr, 23.09.2009

ja, da musst du die Quotientenregel anwenden.

lepton

22:41 Uhr, 23.09.2009

Ja dann wird natürlich alles klar, habe mir schon nämlich gedacht gehabt, dass irgendetwas mit der Aufgabenstellung nicht stimmen kann.

Vanessa91 aktiv_icon

22:46 Uhr, 23.09.2009

f (x) = x^{2} - 4

durch

x + 3

man muss doch die quotientenregel benutzen oder?!
also :

u (x) = x^{2} - 4 u' (x) = 2 x

v (x) = x + 3 v' (x) = 1

f' (x) = u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)

durch

v^{2} (x)

also

2 x \cdot (x + 3) - (x^{2} - 4) \cdot 1

durch

{(x + 3)}^{2}

= 2 x^{2} + 6 x - x^{2} - 4

durch

{(x + 3)}^{2}

= x^{2} + 6 x - 4

durch

{(x + 3)}^{2}

oder lieg ich falsch?

und

t' =

ist ja immernoch

y = \frac{4}{5}

wie muss ich jetzt weitervorgehen,umzu zeigen das

t

die Tangente ist?

bla22 aktiv_icon

22:49 Uhr, 23.09.2009

es muss +4 heißen, ansonsten passts:

f'(x)=

\frac{x^{2} + 6 x + 4}{(x + 3)^{2}}

Vanessa91 aktiv_icon

22:54 Uhr, 23.09.2009

Ah ja genau hab meinen fehler erkannt.
Wie beweise ich denn jetzt das die Gerade

t

die Tangente ist ?!

Kann ich das dann jetzt machen mit

f' (x) = t' (x)

machen?

also

\frac{x^{2} + 6 x + 4}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{4}{5}

gleich null setzen?
also

0 = (x^{2} + 6 x + 4) - \frac{4}{5}

und dann das nach

x

auflösen?

bla22 aktiv_icon

22:54 Uhr, 23.09.2009

Wenn t Tangente ist, dann gibt es nur einen Berührpunkt. D.h. dass gelten muss, dass f'(x) = t'(x) und f(x)= t(x).
Also musst du nun die Ableitungen gleich setzen.

Vanessa91 aktiv_icon

22:57 Uhr, 23.09.2009

das mach ich doch mit

\frac{x^{2} + 6 x + 4}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{4}{5}

oder etwa nicht?
und dann muss ich doch nach irgendetwas auflösen oder?

Ich glaube ich brauche mal einen kompletten Lösungsweg

bla22 aktiv_icon

22:58 Uhr, 23.09.2009

Das Gleichsetzen war richtig. Aber der nächste Schritt des Auflösens nicht mehr.

richtig ist:

\frac{x^{2} + 6 x + 4}{(x + 3)^{2}} = \frac{4}{5}

Dann musst du aber mit den Nennern durchmultiplizieren. Nicht einfach den einen Nenner weg lassen.

Vanessa91 aktiv_icon

23:02 Uhr, 23.09.2009

also

\frac{x^{2} + 6 x + 4}{{(x + 3)}^{2}} - 4 \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{5} \cdot {(x + 3)}^{2}

oder wie und dann gleich null setzen
also

0 = (x^{2} + 6 x + 4) - 4 \cdot {(x + 3)}^{2}

wenn das wieder falsch,dann schreib mir mal deinen lösungsweg bitte auf
UFF

bla22 aktiv_icon

23:02 Uhr, 23.09.2009

\frac{x^{2} + 6 x + 4}{(x + 3)^{2}} = \frac{4}{5}

5 (x^{2} + 6 x + 4) = 4 ((x + 3)^{2})

5 x^{2} + 30 x + 20 = 4 x^{2} - 24 x + 9

Dies nun weiter auflösen und mit Mitternachts- oder p/q-Formel nach x lösen

Vanessa91 aktiv_icon

23:09 Uhr, 23.09.2009

man kann nicht erst minus

\frac{4}{5}

machen ?!
und dann einfach gleich null setzen?

Erst Nennergleich machen und dann gleich 0 setzen?.

hab jetzt nach

x

aufgelöst
und komme auf

x 1 = 2

und

x 2 = - 8

was muss ich jetzt tun?
in

f

einstzen ?

und dann

y

bestimmen?

bla22 aktiv_icon

23:09 Uhr, 23.09.2009

ups sorry, da ist ein Fehler, die letzte Zeile muss heißen:

5 x^{2} + 30 x + 20 = 4 x^{2} + 24 x + 36

Vanessa91 aktiv_icon

23:10 Uhr, 23.09.2009

damit hatte ich auch gerechnet sind meine

x

Ergebnisse denn richtig & ich meine weitere idee richtig?

und wenn ich die

x

Ergebnisse in

f

einsetze muss gleich NULL rauskommen oder?

bla22 aktiv_icon

23:13 Uhr, 23.09.2009

ja, du kannst auch erst

- \frac{4}{5}

machen.

Genau, dann kommt 2 und -8 raus. das musst du nun in f(x) bzw. t(x) einsetzen.
Dann müsste bei x=2 ne wahre aussage rauskommen und bei x=-8 ne falsche.

Vanessa91 aktiv_icon

23:15 Uhr, 23.09.2009

Genau,habe ich damit jetzt bewiesen,dass die Gerade

t

die Tangente von

f

ist ?!

dann kann ich doch sagen,dass

t' : y = \frac{4}{5}

gleich die Steigung

m

ist oder?

oder habe ich einen Schritt vergessen?

bla22 aktiv_icon

23:19 Uhr, 23.09.2009

jup, jetzt weißt du, dass die beiden Schaubilder nur einen Punkt gemeinsam haben, an dem sie sich berühren und damit ist t die Tangente von f.

Was willst du denn mit der Steigung m noch berechnen?

Vanessa91 aktiv_icon

23:20 Uhr, 23.09.2009

Ach Tangentengleichung brauche ich ja garnicht stimmt.
Wie berechne ich denn jetzt noch den