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Taylorpolynom von arcsin(x)

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Sonstiges

Tags: Ableitung, arcsin, Taylorpolynom

Tschoulez aktiv_icon

21:09 Uhr, 27.01.2017

Hallo zusammen,

ich suche vergeblich das Taylorpolynom 3. Grades für arcsin(x) an der Stelle

a = 0.5

Ich habe die erste Ableitung 1/(√(1-x²) umgeschrieben zu (1-x²)^(-1/2) und damit die 2. Ableitung x/(1-x²)^3/2 errechnet.

Im nächsten Schritt soll ich zu der dritten Ableitung (2x²+1)/(1-x²)^5/2 kommen.
Das Taylorpolynom zweiten Grades soll 1/6π

+

(2√3)/3

(x - 0,5) +

0,5(2/3)√3 (x-0,5)² sein.

Ich verstehe den Rechenschritt nicht, außerdem versteh ich nicht wie ich das Ergebnis dass ich in der Rechnung bekomme in (2√3)/3 umwandeln kann, Kann das der Taschenrechner anzeigen?

Hoffe mir kann jemand helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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anonymous

21:41 Uhr, 27.01.2017

Dazu braucht man keinen Taschenrechner.

f (x) = a r c s i n (x) \Rightarrow f (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \Rightarrow f^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3}

f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow f'' (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{9}

f''' (x) = \frac{2 \cdot x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}} \Rightarrow f''' (\frac{1}{2}) = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{9}

\Rightarrow . .

mihisu aktiv_icon

22:22 Uhr, 27.01.2017

"Im nächsten Schritt soll ich zu der dritten Ableitung (2x²+1)/(1-x²)^5/2 kommen."

f (x) = a r c s i n (x)

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Mit Potenzregel und Kettenregel (und Summenregel):

f^{''} (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \cdot (- 2 x) = x \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

Nun kannst du mit Quotientenregel arbeiten:

f^{'''} (x) = \frac{x^{'} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x \cdot {({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{'}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}}

f^{'''} (x) = \frac{1 \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x \cdot (\frac{3}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (- 2 x))}{{(1 - x^{2})}^{3}}

f^{'''} (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 x^{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{3}}

f^{'''} (x) = \frac{(1 - x^{2}) \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

f^{'''} (x) = \frac{(1 - x^{2}) + 3 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}

f^{'''} (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}

Oder du arbeitest mit der Form

f^{''} (x) = x \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

und der Produktregel:

f^{'''} (x) = x^{'} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} + x \cdot {({(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}})}^{'}

f^{'''} (x) = 1 \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} + x \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{5}{2}} \cdot (- 2 x))

f^{'''} (x) = {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} + 3 x^{3} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{5}{2}}

f^{'''} (x) = \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}

f^{'''} (x) = \frac{1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}

f^{'''} (x) = \frac{1 - x^{2} + 3 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}

f^{'''} (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}

\\\\

"außerdem versteh ich nicht wie ich das Ergebnis dass ich in der Rechnung bekomme in (2√3)/3 umwandeln kann, Kann das der Taschenrechner anzeigen?"

Je nach dem welchen Taschenrechner du besitzt, kann dieser dir gleich das exakte Ergebnis in der passenden Form angeben. Mein Taschenrechner kann sowas beispielsweise. Siehe: Bild im Anhang

Nun ist das Taylorpolynom an der Stelle

a = 0,5 = \frac{1}{2}

gesucht. Setze also

\frac{1}{2}

in die Ableitungen ein.

f (\frac{1}{2}) = a r c s i n (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

f^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3}

f^{''} (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{{(1 - {(\frac{1}{2})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}})}^{3} = \frac{1}{2} \cdot {(f^{'} (\frac{1}{2}))}^{3}

... = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3})}^{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{27} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}

f^{'''} (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1}{{(1 - {(\frac{1}{2})}^{2})}^{\frac{5}{2}}} = (2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1) \cdot {(\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}})}^{5} = (2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1) \cdot {(f^{'} (\frac{1}{2}))}^{5}

... = (2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1) \cdot {(\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3})}^{5} = (2 \cdot \frac{1}{4} + 1) \cdot \frac{2^{5} \cdot 3^{2} \sqrt{3}}{3^{5}}

... = \frac{3}{2} \cdot \frac{2^{5} \sqrt{3}}{3^{3}} = \frac{2^{4} \sqrt{3}}{3^{2}} = \frac{16 \sqrt{3}}{9}

Nun ist das gesuchte Taylorpolynom 3. Grades gegeben durch:

f (\frac{1}{2}) + f^{'} (\frac{1}{2}) \cdot (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot f^{''} (\frac{1}{2}) \cdot {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{6} \cdot f^{'''} (\frac{1}{2}) \cdot {(x - \frac{1}{2})}^{3}

\frac{π}{6} + \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{9} \cdot {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{16 \sqrt{3}}{9} \cdot {(x - \frac{1}{2})}^{3}

\frac{π}{6} + \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{1}{2}) + \frac{2 \sqrt{3}}{9} \cdot {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{8 \sqrt{3}}{27} \cdot {(x - \frac{1}{2})}^{3}

Zur Kontrolle habe ich meinen PC das Taylorpolynom ausrechnen lassen. Dieses stimmt mit meiner Rechnung überein. (Siehe: Bild im Anhang)

"Das Taylorpolynom zweiten Grades soll 1/6π

+

(2√3)/3 (x−0,5)+ 0,5(2/3)√3 (x-0,5)² sein."
Da stimmt der Koeffizient vor dem quadratischen Term nicht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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