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Textaufgabe logistisches Wachstum Ableitung

Schüler

Tags: Ableitung, logistisches Wachstum, Quotientenregel, Wachstumsgeschwindigkeit

mareike aktiv_icon

10:33 Uhr, 22.11.2013

Hallo,
ich lerne gerade für meine Mathe Vor-AbiKlausur und brauche dringend Hilfe.
Die Funktion lautet

f (x) = \frac{50}{1 + 24 e^{- 0,5} x}

und beschreibt den Wachstum einer Pflanze.
So jetzt ist die Frage dazu, wann die Wachstumsgeschwindigkeit weniger als 5mm pro Woche beträgt. Achja x=Zeit in Wochen und

y =

Wachstum in cm.
So jetzt weiß ich, dass ich

0,5

mit der Ableitung der Funktion gleichsetzen muss und ich dafür die Quotientenregel benutzen muss.
also dachte ich:

0,5 =

600e^(-0,5x)/(1+24e^(-0,5x)²
Mein Problem liegt jetzt aber darin, diese Gleichung nach

x

aufzulösen.
Als Ansatz hatte ich gedacht, dass man vielleicht erstmal den Kehrwert nimmt.
Also 1/0,5=(1+24^-0,5x)²/600e^-0,5x
Jetzt komme ich aber leider überhaupt nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich das Quadrat wegbekomme.
Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Vielen Dank schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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CKims aktiv_icon

10:39 Uhr, 22.11.2013

substituiere

z = e^{- 0,5 x}

dann nimm beide seiten der gleichung mal

{(1 + 24 z)}^{2}

loese den quadratischen klammerausdruck auf

. .

. .

mareike aktiv_icon

10:59 Uhr, 22.11.2013

das sähe dann ja erstmal so aus:
600z/(1+24z)²=0,5
wenn ich dann mal (1+24z)² nehme:

600 z = 0,5 x

(1+24z)²
löse ich jetzt zuerst die klammern auf? Ich komme mit dem Quadrat nicht zurecht? Ist das eine binomische Formel, die ich erst auflöse und dann das Ergebnis mal