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Verhalten der Indikatorfunktion bei Anwendung
Universität / Fachhochschule
Zufallsvariablen
Tags: Ableitung, Dichtefunktion, Indikatorfunktion, Integration, Randverteilung, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen
 
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Hallo, ich habe eine Frage zur Indikatorfunktion angewendet bei Dichte- und Verteilungsfunktionen. In der Aufgabe bei Anhang1 soll die Dichtefunktion durch partielles Ableiten der gemeinsamen Verteilungsfunktion bestimmt werden. Sowohl bei der part. Abl. nach als auch bei der part. Abl. nach bleibt die Indikfkt als Faktor stehen. Bei der part.Abl. nach kann ichs mir ja noch erklären, da die Indfkt von abhängig ist, aber wie lässt sich das Verhalten bei der part.Abl. nach nachvollziehen? Bitte um Erklärung zum allg Vorgehen bei part. Abl. In der Aufgabe bei Anhang 2 soll die Dichte der Randverteilung durch part. Int. der gemeinsamen Dichtefkt aus Aufgabe im Anhang1 bestimmt werden. Meines Wissens nach wird ja die Indfkt beim Integrieren in die Integrationsgrenzen "eingearbeitet", da die Indfkt für alle die nicht in A liegen 0 ist. In der Aufgabe ist der Wertebereich von x1,unendlich. Somit kann ich mir die Grenzen des Intervalls erklären. Warum "fällt" aber die Indfkt sowohl bei part. Int. nach als auch nicht durch "Einarbeitung" weg, sondern bleibt als Faktor bestehen und der Wertebereich der Fkt wird nach: unendlich erweitert? Bitte um Erklärung zum allg. Vorgehen bei part. Int. Vielen Dank im Voraus! Ihr helft mir sehr. Gruß Patrick   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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Da keine Antwort kam, das wäre die Lösung zu der Frage. fangen wir mal mit Aufgabe 19.d an. Wir möchten über zz⋅e−z1−2⋅e−1⋅1(0,1)(z) integrieren. Das bedeutet, wenn z<0 oder z>1 ist die Funktion 0. Ich kann das Integral also schreiben als ∫Rzz⋅e−z1−2⋅e−1⋅1(0,1)(z)dz=∫0−∞0dz+∫10zz⋅e−z1−2⋅e−1⋅1(0,1)(z)dz+∫∞10dz. Die beiden äußeren Integrale verschwinden, da ich über Null integriere, und ich muss wie im Lösungsvorschlag nur von Null bis Eins integrieren. Nun zu Aufgabe 19 a. Ich versuche mal zu erklären, wie man die Randdichte von X erhält. Wir wissen, dass fX(x)=∫Rf(X,Y)(x,y)dy. Die gemeinsame Dichte ist gegeben durch f(X,Y)(x,y)=y⋅e−y⋅x⋅1(0,∞)×(0,1)(x,y) . Man kann anstelle von 1(0,∞)×(0,1)(x,y) auch 1(0,∞)(x)⋅1(0,1)(y) schreiben, denn wenn ein Term Null wird, wird auch das Produkt beider Terme Null. Da ich nur über y integriere, muss ich auch nur die Werte von y berücksichtigen. Die andere Indikatorfunktion bleibt einfach stehen. Falls y<0 oder y>1, wird die Funktion wieder Null, weswegen ich nur von Null bis Eins integrieren muss (das funktioniert analog wie ich es oben bereits erklärt habe). Nun zur Randdichte von X1 in Aufgabe 15 c). In der gemeinsamen Dichte steht der Term 1[0,x2](x1), da wir aber über x2 integrieren müssen, müssen wir diese Indikatorfunktion umschreiben. Die Funktion ist ungleich Null wenn x1≤x2, was wir schreiben können als 1[x1,∞)(x2). Da x1∈[0,∞) ist (der Grund hierfür ist, dass B1 und B2 in der Aufgabenstellung exponentialverteilt sind und daher mit positiver Wahrscheinlichkeit nur positive Werte annehmen; gleiches muss somit auch für X1 gelten) können wir also x1≤x2 ersetzen durch 1[x1,∞)(x2)⋅1(0,∞)(x1). Da ich wieder nur über x2 integriere, berücksichtige ich das in meinen Integralgrenzen und integriere nur von x1 bis ∞. Nun zum Ableiten. Was passiert denn, wenn Sie die Null ableiten? Dann ist die Ableitung weiterhin Null. Das heißt Sie müssen diese Indikatorfunktionen weiterhin berücksichtigen. Noch ein kleines Beispiel dazu. Ich möchte die Funktion g(x)=x2⋅1(0,1)(x) ableiten. Ich kann g(x)=0⋅1(−∞,0](x)+x2⋅1(0,1)(x)+0⋅1[1,∞)(x) schreiben. Leite ich das ab, bleibt nur der mittlere Term übrig, da ddx(0⋅1(−∞,0](x)+x2⋅1(0,1)(x)+0⋅1[1,∞)(x))=0⋅1(−∞,0](x)+2⋅x⋅1(0,1)(x)+0⋅1[1,∞)(x)=2⋅x⋅1(0,1)(x). |
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