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Zeige Funktion f ist n-1 mal differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Ableitung funktion, Differentiation

ikshoch2 aktiv_icon

10:53 Uhr, 18.01.2022

Hallo,

ich bräuchte Hilfe um zu zeigen, dass eine Funktion

f (x)

mit:

n \in ℕ, n \geq 2, f : ℝ \to ℝ

definiert durch

f (x) := x^{n},

falls

x \geq 0

0,

falls

x < 0

Zeige:

f

ist (n-1)-mal differenzierbar, aber nicht n-mal.

Meine Frage ist, wie man das am besten sauber zeigt. Durch logische Folgerungen oder mit vollst. Induktion?

Denn ich muss darauf hinaus, dass es keine Ableitung gibt mit

(f^{(n - 1)})' = f^{(n)},

wobei

f^{(i)}

jeweils die i-te Ableitung ist.

Ich verstehe nicht warum bei einem bestimmten

x

keine Ableitung existieren kann. Kann mir jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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HAL9000

12:39 Uhr, 18.01.2022

> Durch logische Folgerungen oder mit vollst. Induktion?

Nun ja, das eine schließt ja das andere nicht aus. Man kann durch vollständige Induktion über

k

beweisen

f^{(k)} (x) = {\begin{array}{ll} \frac{n!}{(n - k)!} \cdot x^{n - k} & falls x \geq 0 \\ 0 & falls x < 0 \end{array}

und zwar für

0 \leq k \leq n - 1

. Schlussendlich betrachte man dann sowohl links- als auch rechtsseitige

n

-te Ableitung im Punkt

x = 0

, d.h., weist nach, dass diese verschieden sind.

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