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Zweite Ableitung mit der Quotientenregel

Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Quotiontenregel

chdhesi0 aktiv_icon

16:05 Uhr, 21.11.2012

Hi zusammen,

ich versuche folgende 1. Ableitung nach der zweiten abzuleiten:

f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

nach

f'' (x) = \frac{(x (x - 2))' \cdot {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}' \cdot (x (x - 2))}{{(x - 1)}^{3}}

Also hab ich das richtig erfasst?

Das wäre ja dann im nächsten Schritt:

f'' (x) = \frac{(2 x - 2) \cdot {(x - 1)}^{2} - 2 (x - 1) \cdot (x (x - 2))}{{(x - 1)}^{3}}

Wobei das im Zähler nicht stimmten kann... hmm. Kann mir jemand mal weiterhelfen.

Vielen Dank für die Hilfe!

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Edddi aktiv_icon

16:13 Uhr, 21.11.2012

Quotientenregel:

(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}

Nenner: mit

v = {(x - 1)}^{2}

ergibt sich für

v^{2} = {(x - 1)}^{4}

Zähler:

x \cdot (x - 2)' = (x^{2} - 2 \cdot x)' = 2 \cdot x - 2 = 2 \cdot (x - 1)

{(x - 1)}^{2}' = 2 \cdot (x - 1)

somit:

x \cdot (x - 2)' \cdot {(x - 1)}^{2} - x \cdot (x - 2) \cdot {(x - 1)}^{2}'

= 2 \cdot {(x - 1)}^{3} - x \cdot (x - 2) \cdot 2 \cdot (x - 1)

= 2 \cdot (x - 1) \cdot ({(x - 1)}^{2} - x \cdot (x - 2))

und somit:

f'' (x) = \frac{2 \cdot (x - 1) \cdot ({(x - 1)}^{2} - x \cdot (x - 2))}{{(x - 1)}^{4}}

f'' (x) = \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} - 2 \cdot x \cdot (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}

f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 2 - 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x}{{(x - 1)}^{3}}

f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

;-)

chdhesi0 aktiv_icon

16:19 Uhr, 21.11.2012

Ja, ich hab noch einen Tippfehler gehabt oben, aber mal davon abgesehen krieg ich mit dem Rechner raus: www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+%28x%28x-2%29%29%2F%28x-1%29%5E2

Rechner:

\frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

Was mache ich falsch? Ich kapiers gerade überhaupt nicht.

: |

Edddi aktiv_icon

16:20 Uhr, 21.11.2012

. .

. steht schon da...

;-)

chdhesi0 aktiv_icon

16:21 Uhr, 21.11.2012

...sorry, erst gerade gesehen. ;-)

chdhesi0 aktiv_icon

16:41 Uhr, 21.11.2012

boah, danke danke danke. Hab meinen Fehler erkannt. Das Ausmultiplizieren der Ausdrücke habe ich nicht erkannt. Eigentlich müsste man es ja wissen... :-)

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