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Ableitung von arctan(x)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Arkustangens

8mileproof aktiv_icon

14:56 Uhr, 01.02.2012

hallo, ich hab versucht arctan(x) abzuleiten. bin so vorgegangen:

f (x) =

arctan(x)

= {tan}^{- 1} (x) = \frac{1}{tan (x)} = \frac{1}{\frac{sin (x)}{cos (x)}} = \frac{cos (x)}{sin (x)}

\Rightarrow f (x) = cos (x) \cdot {sin (x)}^{- 1}

\Rightarrow f^{1} (x) = sin (x) \cdot {sin (x)}^{- 1} + cos (x) \cdot - 1 \cdot {sin (x)}^{- 2} \cdot cos (x) = 1 - \frac{{cos (x)}^{2}}{{sin (x)}^{2}}

in meinem formelsammelbuch steht allerdings, dass die ableitung von arctan(x) gleich

\frac{1}{x^{2} + 1}

hab ich da was falsch gemacht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Shipwater aktiv_icon

15:01 Uhr, 01.02.2012

a r c t a n (x) = {tan}^{- 1} (x) = \frac{1}{tan (x)}

ist leider ganz großer Schwachsinn. Genau deshalb bin ich gegen die Schreibweise

{tan}^{- 1} (x)

für den Arkustangens! Der Exponent

- 1

steht hier für die Umkehrfunktion und nicht für einen Bruch. Versuch mal lieber mit der Umkehrregel zu arbeiten: de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel
Für

\frac{1}{tan (x)}

gibt es übrigens die Bezeichnung

cot (x)

Edddi aktiv_icon

15:41 Uhr, 01.02.2012

...Umkehrregel ist genau der richtige Ansatz.

Aber auch ich verwende für arctan (aber nur hier im Forum) die Schreibweise

{tan}^{- 1} (x)

mit:

{tan}^{- 1} (x) \neq \frac{1}{tan (x)}

ansonsten schreibe ich für den reziproken Wert:

{(tan (x))}^{- 1} = \frac{1}{tan (x)}

Grund dafür ist die schlechte Darstellung in Termen im Textmodus.

Übrigens ist ja auch

f^{- 1} (x) \neq \frac{1}{f (x)},

wohl aber

{(f (x))}^{- 1} = \frac{1}{f (x)}

Grüße ;-)

Shipwater aktiv_icon

15:43 Uhr, 01.02.2012

"Grund dafür ist die schlechte Darstellung in Termen im Textmodus."
Was genau meinst du damit? Im Text-Modus kann man

a r c t a n (x)

doch schreiben.

8mileproof aktiv_icon

15:46 Uhr, 01.02.2012

achso...dann war das falsch geschrieben habe, oder wie? hmmh...die umkehrregel hab ich nicht verstanden....;(

Edddi aktiv_icon

15:49 Uhr, 01.02.2012

y =

arctan(x)

...so sieht's bei mir aus, was gibst du denn ein?

;-)

Shipwater aktiv_icon

15:51 Uhr, 01.02.2012

Entweder a r c t a n (x) also mit Leerzeichen oder alternativ auch \arctan(x) wobei das nicht ganz so schön wird.
Wieder zur Aufgabe: Was ist denn die Umkehrfunktion von

f (x) = a r c t a n (x)

und wie lautet deren Ableitung? Wenn du das ermittelt hast, brauchst du nur noch in die Formel der Umkehrregel einsetzen.

Edddi aktiv_icon

16:00 Uhr, 01.02.2012

@shipwater:

Danke für den Tipp. sieht doch alles super aus, so kann man den Ausdruck dann auch endlich in Termen verwenden.

a r c t a n (x)

bzw.

a r c tan (x)

8mileproof aktiv_icon

16:33 Uhr, 01.02.2012

okay. ich habs jetzt verstanden wie mans macht. ich kann mir vorstellen, dass man bei arcsin(x) usw. auch so vorgeht, nicht wahr?

8mileproof aktiv_icon

17:00 Uhr, 01.02.2012

also das sieht bei mir jetzt so aus:

y = f (x) = a r c t a n (x)

Umkehrfunktion:

x = f (y) = tan (y)

ableitung der umkehrfunktion:

f^{1} (y) = 1 + {tan (y)}^{2}

mein

y

war gleich

a r c t a n (x)

. also einsetzen. in die ableitung

f^{1} (y) = 1 + {tan (a r c t a n (x))}^{2}

\Rightarrow a r c t a n (x)

und

tan (x)

heben sich ja gegenseitig auf. so wie

e

und

ln

. also bleibt letztendlich nur das

x^{2}

übrig. also:

1 + x^{2}

aber das ist noch nicht alles: die regel war

f^{1} (x) = \frac{1}{f^{1} (y)}

also muss ich das

1 + x^{2}

nur noch einsetzen und erhalte:

f^{1} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

ich hab das ganze mal versucht als übung für

a r c s i n (x),

(damit das "verfahren" auch hängenbleibt) und komme an einer stelle nicht mehr weiter, shipwater:

also bin analog vorgegangen:

y = f (x) = a r c s i n (x)

und

x = f (y) = sin (y)

die ableitung der umkehrfunktion:

f^{1} (y) = cos (y)

\Rightarrow

für

y \in cos (y)

habe ich von oben mein

a r c s i n (x)

eingesetz, sodass

cos (a r c s i n (x))

rauskam, das habe ich wiederum in die "formel" eingesetzt:

f^{1} (x) = \frac{1}{cos (a r c s i n (x))}

hier hab ich allerdings das problem, dass das ganze sich nicht aufhebt...so wie oben...kannst du mir vtl. da weiterhelfen?

irena

17:08 Uhr, 01.02.2012

Hallo,
du musst der trigonometrischen Pythagoras anwenden:

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

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17:08 Uhr, 01.02.2012

Benutze

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

. Übrigens findest du genau das Beispiel doch bei Wikipedia.

8mileproof aktiv_icon

17:10 Uhr, 01.02.2012

okay. versuch ich. bin glcih wieder da, falls ich was vernünftiges aufs blatt gekritzelt hab...:O)

8mileproof aktiv_icon

17:13 Uhr, 01.02.2012

oooohh shit....stimmt...bei wikipedia steht das doch....trotzdem ist es gut, dass ich gefragt. auf den trigonometrischen phytagoras wäre ich nichteinmal in

40

jahren gekommen....ich nehme an beim arccos(x) ist es genauso, dass ich den trigonomtrischen phytagoras verwende...

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17:14 Uhr, 01.02.2012

Ja, das ist dasselbe in Grün.

8mileproof aktiv_icon

17:17 Uhr, 01.02.2012

okay...hab heute wieder was dazu gelernt....jetzt muss ich für die klasusur die komischen ableitungen für

a r c t a n (x)

etc pipapo nicht auswendig zu lernen, was ich ursprünglich vorhatte. ich kann die ja jetzt jederzeit herleiten. danke....;-)

ich mach ma weiter...es gibt viel zu tun...;-)

Shipwater aktiv_icon

17:18 Uhr, 01.02.2012

Viel Erfolg weiterhin.

8mileproof aktiv_icon

17:19 Uhr, 01.02.2012

danke. ich gib ma jetzt eine sehr gute bewertung ab und schließe diesen thread.

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