Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » ableitung von einer Funktion mit Betrag und Vektor

ableitung von einer Funktion mit Betrag und Vektor

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung

nudeln2 aktiv_icon

16:58 Uhr, 13.09.2017

Hallo!

Könntet ihr bitte mal einen Blick auf frhewww.physik.uni-freiburg.de/SideBar/l5_Lectures/SS2007/Skripte/Textskript/EXP-II-2007-05-MULTIPOLE.pdf werfen? Auf der 2ten PDF-Seite (Seite

40)

gibt es unter der Grafik eine interessante Formel.

Ausgegangen wird hier von

\frac{1}{| \vec{R} \pm \frac{\vec{d}}{2} |}

R

und

d

sind Ortsvektoren (haben also eine

x -, y -

und z-Komponente.

Hier geht es um die Entwicklung einer Tylorreihe, aber das ist eigentlich uninteressant. Was mich interessiert ist, wie man diese Funktion derart ableiten kann, sodass dann am Ende rauskommt:

\frac{\vec{R} \cdot \vec{d}}{R^{3}}

Ich habe leider 0 Erfahrung mit Ableitung von Funktionen, wo ein Betrag

| |

und Vektoren vorkommen. Könnt ihr mir weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

nudeln2 aktiv_icon

17:32 Uhr, 13.09.2017

Gemäß

| {\vec{v}}^{2} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}

habe ich jetzt versucht, den Betrag aufzulösen:

\sqrt{{(R_{x} \pm \frac{d_{x}}{2})}^{2} + {(R_{y} \pm \frac{d_{y}}{2})}^{2} + {(R_{z} \pm \frac{d_{z}}{2})}^{2}} =

\sqrt{R_{x}^{2} \pm 2 ⋆ R_{x} ⋆ \frac{d_{x}}{2} + {(\frac{d_{x}}{2})}^{2} + R_{y}^{2} \pm 2 ⋆ R_{y} ⋆ \frac{d_{y}}{2} + {(\frac{d_{y}}{2})}^{2} + R_{z}^{2} \pm 2 ⋆ R_{z} ⋆ \frac{d_{z}}{2} + {(\frac{d_{z}}{2})}^{2}} =

\sqrt{R_{x}^{2} + R_{y}^{2} + R_{z}^{2} \pm R_{x} ⋆ d_{x} \pm R_{y} ⋆ d_{y} \pm R_{z} ⋆ d_{z} + \frac{d_{x}^{2}}{4} + \frac{d_{y}^{2}}{4} + \frac{d_{z}^{2}}{4}} =

\sqrt{R^{2} \pm \vec{R} \cdot \vec{d} + \frac{d^{2}}{4}}

Aber irgendwie wird jetzt noch

R^{2}

rausgenommen aus der Wurzel.?

DrBoogie aktiv_icon

17:41 Uhr, 13.09.2017

Da leitet man nirgendwo etwas ab.
Es wird nur die bekannte Taylor-Reihe für

\frac{1}{\sqrt{1 \pm x}}

benutzt, wobei für

x

dann einfach

\frac{R \cdot d}{R^{2}}

substituiert wird.

nudeln2 aktiv_icon

17:42 Uhr, 13.09.2017

OK, hier wird in der Wurzel noch um

\frac{R^{2}}{R^{2}}

erweitert:

\sqrt{R^{2} ⋆ \frac{R^{2} \pm \vec{R} \cdot \vec{d} + \frac{d^{2}}{4}}{R^{2}}} =

R \cdot \sqrt{\frac{R^{2} \pm \vec{R} \cdot \vec{d} + \frac{d^{2}}{4}}{R^{2}}} =

R \cdot \sqrt{1 \pm \frac{\vec{R} \cdot \vec{d}}{R^{2}} + \frac{d^{2}}{4 \cdot R^{2}}}

Jetzt geht es nur noch darum, wie man den Reziprok ableitet.?

DrBoogie aktiv_icon

17:50 Uhr, 13.09.2017

Ich wiederhole: man muss hier nicht ableiten!

nudeln2 aktiv_icon

17:52 Uhr, 13.09.2017

Danke für deinen Eintrag, aber das geht mir zu schnell bei dir, da fehlen mir noch Zwischenschritte.

Aber ich habe den nächsten Schritt von der PDF jetzt schon verstanden. Als nächstes wird noch nicht abgeleitet, sondern die Formel wird noch vereinfacht.

Sofern man davon ausgeht, dass

R 〉 d,

dann kann man den letzten Bruch vergessen, der geht dann gegen 0. Darum ergibt sich dann daraus

R \cdot \sqrt{1 \pm \frac{\vec{R} \cdot \vec{d}}{R^{2}}}

. .

. was passiert dann als nächsten im PDF?

nudeln2 aktiv_icon

17:53 Uhr, 13.09.2017

Aber bei Taylor-Reihen muss man doch ableiten, oder???

O . o

nudeln2 aktiv_icon

18:06 Uhr, 13.09.2017

Ich glaube, ich verstehe so langsam, was du hier mit Substituieren gemeint hast. Ich muss mir wohl als nächstes anschauen, wie man von den von dir erwähnten Bruch eine Taylor-Reihe bildet. Danke vorerst mal.

DrBoogie aktiv_icon

18:06 Uhr, 13.09.2017

Ja, bei der Taylor-Reihe muss man ableiten. Aber der Vorteil dabei ist, dass die Taylor-Reihe dann allgemein anwendbar ist.

Also,

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{x}{2} + o (x)

- das ist die Taylor-Entwicklung, welche für alle "kleine"

x

gilt. Sie bekommt man tatsächlich mittels Ableitung, und zwar muss man hier

\frac{1}{\sqrt{1 + x}}

einmal ableiten, was

\frac{- 1}{2 {\sqrt{1 + x}}^{3}}

ergibt, und dann es im Punkt

x = 0

auswerten, woher

- \frac{1}{2}

kommt.

ABER! Wenn diese Formel

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{x}{2} + o (x)

schon steht, so kann man hier

x

durch alles ersetzen, was "klein" ist (streng mathematisch, was gegen

0

geht, wenn

x \to 0

).

Z.B. folgt daraus sofort

\frac{1}{\sqrt{1 + \sin (x)}} = 1 - \frac{\sin (x)}{2} + o (x)

. Und zwar ohne dass man etwas ableiten muss!

Oder auch

\frac{1}{\sqrt{1 + x^{3}}} = 1 - \frac{x^{3}}{2} + o (x)

. Oder die Formel, die Du dann hast.

nudeln2 aktiv_icon

18:18 Uhr, 13.09.2017

Das ist echt interessant. Grundsätzlich habe ich verstanden, was du hier eingetragen hast. Danke.

Ich muss das mal verdauen. Alles ist mir noch nicht klar. Nicht nur, was den mathematischen Teil betrifft, sondern was dann auch den physikalischen Teil betrifft.

Danke, vorerst mal.

nudeln2 aktiv_icon

14:09 Uhr, 14.09.2017

OK, das habe ich soweit mathematisch verstanden. Das

\frac{1}{R}

belässt man, und aus dem Bruch mit der Wurzel macht man eine Taylor-Reihe bis zur ersten Ableitung. Das kann ich jetzt alles nachvollziehen.

Aber eine Sache verstehe ich noch nicht (was den mathematischen Teil betrifft - das physikalische ist wieder eine andere Sache): Woher weiß ich, welche Sachen für das

x

erlaubt sind? Gibt es dazu eine Liste mit Regeln?

DrBoogie aktiv_icon

14:41 Uhr, 14.09.2017

Ich verstehe die Frage nicht wirklich.

Wenn es um die Darstellung wie

\frac{1}{1 + \sqrt{x}} = 1 + x / 2 + o (x)

geht, so muss man dabei schreiben "bei

x \to 0

", sonst ist es sinnlos.

o (x)

bedeutet dabei beliebige Funktion

f (x)

mit der Eigenschaft

lim_{x \to 0} f (x) / x = 0

.
Also steht es hier explizit, dass die Darstellung nur bei

x \to 0

gilt. Das ist die Anforderung an

x

. Damit ist die Approximation

\frac{1}{1 + \sqrt{x}} \approx 1 + x / 2

nur für "kleine"

x

gültig (mathematisch ist damit gemeint, dass diese Approximation immer besser wird, wenn

x \to 0

nudeln2 aktiv_icon

15:19 Uhr, 14.09.2017

Ich habe ja eigentlich nicht

z

. B.

\frac{1}{\sqrt{1 + x}},

sondern

\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{\vec{R} \cdot \vec{d}}{R^{2}}}}

stehen.

Woher weiß ich, dass ich statt dem

\frac{\vec{R} \cdot \vec{d}}{R^{2}}

einfach ein

x

wählen darf für die Taylorreihenberechnung? Woher weiß ich, dass das nicht zu einem falschen Ergebnis führt?

Ich habe hier 2 Parameter:

R

(als Vektor und dessen Betrag) und

d

(nur als Vektor). Und obwohl ich hier nicht nur 1 Parameter, sondern 2 habe, darf ich

\frac{\vec{R} \cdot \vec{d}}{R^{2}}

trotzdem noch durch ein

x

ersetzen?

Angenommen, ich habe nicht

\frac{\vec{R} \cdot \vec{d}}{R^{2}},

sondern ganz was anderes,

z

. B.

R -

Kuhmilch

\cdot ε_{0} + d^{2} + y

. Darf ich das dann immer noch durch ein

x

ersetzen? Wenn es gegen 0 geht, dann ist es erlaubt? Das ist die einzige Regel???

DrBoogie aktiv_icon

15:26 Uhr, 14.09.2017

Du darfst

x

durch alles ersetzen, dass "klein" ist. Es geht doch nicht um eine exakte Formel, sondern nur um eine Approximation, die nun mal besser oder schlechter sein kann.
In Deinem Fall darfst Du

x

durch

\frac{R \cdot d}{R^{2}}

ersetzen, weil gegeben ist, dass

R > > d

. Was übrigens auch keine "exakte" Schreibweise ist, eigentlich gar keine mathematische, sondern eine "physische", so "lasch" umgehen normalerweise nur Physiker mit den Formeln. :-)
Aber die Aussage bleibt valide: wegen

R > > d

, also weil

d

viel kleiner als

R

ist, gilt die Approximation, die auch "gut" ist, verglichen mit

R

(also der Fehler der Approximation ist viel kleiner als

R

, im Sinne, dass dieser Fehler bei kleiner werdendem

R

noch schneller klein wird).

Es tut mir leid, das ist vermutlich wirklich nicht einfach zu verstehen, weil es ein Bisschen ein Mischmasch aus Mathe und Physik ist.

DrBoogie aktiv_icon

15:27 Uhr, 14.09.2017

"Wenn es gegen 0 geht, dann ist es erlaubt?"

Ja, aber was Du geschrieben hast, geht nicht gegen

0

. :-)

nudeln2 aktiv_icon

15:31 Uhr, 14.09.2017

OK, dann nehme ich das einfach mal so hin.

Ach übrigens. "Kuhmilch" ist magisch. Das alles geht sehr wohl gehen 0. LOL

Vielen Dank :-)

1386342

1386214

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?