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f´(0) und f´(1) kennzeichnen aber bloß wie ?

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Koordinatensystem

mrtayfun007 aktiv_icon

22:59 Uhr, 04.11.2011

Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion

f

mit

f (x) = - e^{1 - x} - x + e

Kennzeichnen sie f´(0) und f´(1) im Koordinatensystemund ebstimmen sie die Werte aus der Zeichnung.
Geben sie f´(2) exakt an.
Welche Werte kann f´(x) annehmen ? Begründen sie

also ich versteh die komplette fragestellung niht ganz. Was meinen die mit Kennzeichne f´(0) und f´(1) im Koordinatensystem und bestimme die werte anhand der zeichnung ???

Was ich aber schon mal ausgerechnet habe :

f´(x)=

e^{1 - x} - 1

f´(0)=e-1
f´(1)=0
f´(2)=

\frac{1}{e} - 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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anonymous

13:29 Uhr, 05.11.2011

Was ist denn

f' (0)

? Was gibt dieser Wert

f' (0) = e - 1

an? Was bedeutet er?

Versuche das doch mal zu beantworten. Dann kommst du auch bestimmt darauf, was du tun musst.
Falls du dann immer noch nicht weiter weißt, kann ich dir noch weiterhelfen. Aber es ist normalerweise immer besser, möglichst selbst zu einer Erkenntnis zu gelangen.

Als Tipp:
Denke dabei vielleicht mal an die erste Stunde zurück, in der die Ableitung eingeführt wurde.
Wie ist man auf den Differentialquotienten

\frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x},

der ja die Ableitung darstellt, gekommen? Was wird denn normalerweise

m = \frac{Δ y}{Δ x}

bezeichnet?

mrtayfun007 aktiv_icon

13:35 Uhr, 05.11.2011

PS: f´(0)= gbit die steigung im punkt

X 0

an das wäre eben hier bei

0 e - 1

anonymous

13:42 Uhr, 05.11.2011

Kein Problem. Also:
Die Ableitung

f' (x_{0})

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x = x_{0}

gibt die Steigung einer Tangente an, welche den Graphen

G_{f}

der Funktion

f

an der Stelle

(x_{0} | f (x_{0}))

berührt.

Oder kurz:
Die Ableitung gibt eine Tangentensteigung an.

Daher ist bei der Aufgabenstellung verlangt zwei Tangenten zu zeichnen, welche den Graphen der Funktion

f

bei

x = 0

bzw.

x = 1

berühren. Anschließend soll deren Steigung abgelesen werden. Diese Steigung entspricht dann ungefähr (bis auf einen kleinen Fehler beim Zeichnen und Ablesen) den Werten

f' (0)

und

f' (1)

.

Ich füge gleich noch eine Zeichnung an.

Edit:
Ich habe jetzt die Zeichnung angefügt.
Das Schwarze ist der Graph

G_{f}

der Funktion

f

. Das Blaue ist die Tangente, welche den

G_{f}

an der Stelle

x = 0

berührt. Ein Steigungsdreieck (violett) wurde eingezeichnet, um die Steigung der Tangente besser ermitteln zu können.

f' (0) \approx \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{0,625}{0,375} \approx 1,67

Das grüne ist die Tangente, welche

G_{f}

an der Stelle

x = 1

berührt. Die steigung beträgt

0,

da die Tangente anscheinend parallel zur x-Achse verläuft:

f' (1) \approx 0

Hier noch ein Vergleich mit den exakten Werten:

f' (0) = e - 1 \approx 1,72

. .

. stimmt ungefähr mit dem Wert aus der Zeichnung überein. Passt!

f' (1) = 0

. .

. stimmt mit dem Wert aus der Zeichnung überein. Passt!

mrtayfun007 aktiv_icon

15:01 Uhr, 05.11.2011

Alles verstanden nur wie zeichnet man so eine Gerade/Tangente in ein Koordinatensystem wenn nur diese werte vorhanden sind ?

anonymous

15:32 Uhr, 05.11.2011

Die Tangente muss nicht

100 %

stimmen. Du suchst dir einfach den Berührpunkt

(x_{0} | f (x_{0}))

und zeichnest eine Gerade, die den Graphen von

f

möglichst nur berührt und nicht in 2 Punkten schneidet. Also einfach mit der Steigung zeichnen, mit der die Gerade eine Tangente zu sein scheint.

Ich wüsste jetzt keine Möglichkeit, wie man das genauer hinbekommen würde.
Wenn man einfach eine Kurve gegeben hat, von der man nicht viel weiß geht das kaum anders. Bei einer besonderen Form, wie etwa einem Kreisbogen, sähe dies anders aus. Da ließe sich eine entsprechende Tangente konstruieren. Aber so muss man eben schätzen, wie die Tangente verläuft.
(Natürlich kann man zuerst den exakten Wert über die Ableitung ermitteln, welcher dann der Steigung der Tangente entspricht. So wäre zwar die Tangente exakter gezeichnet, der Wert allerdings nicht direkt aus der Zeichnung entnommen, sondern vorher schon berechnet.) Es ist auch gar nicht der Sinn der Aufgabe, die Werte

f' (0)

und

f' (1)

exakt zu ermitteln, sondern eine Schätzung abzugeben, wie groß diese Werte ungefähr sind. Denn mit einer Zeichnung ist sowieso immer nur eine Schätzung der Werte möglich.

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