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gerade und ungerade Funktionen Ableitung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialrechnung

vasmer

17:26 Uhr, 01.12.2015

Hi

Kann man auch bei nicht ganzrationalen Funktionen zwischen geraden und ungeraden Funktionen unterscheiden, welche symmetrisch zur x-/y-Achse bzw. punktsymmetrisch sind?

thx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

17:34 Uhr, 01.12.2015

$f (x) = cos (x)$ ist symmetrisch zur y-Achse

$g (x) = sin (x)$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Da spricht man nicht von geraden und ungeraden Funktionen.

mfG

Atlantik

$Z e i c h n u n g :$

vasmer

17:35 Uhr, 01.12.2015

Danke, gilt das auch für $z . B$ . Funktionen mit Bruchstrich, Wurzel,...?

Atlantik aktiv_icon

17:48 Uhr, 01.12.2015

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ist symmetrisch zur y-Achse.

$g (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

$h (x) = \sqrt[3]{x}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

mfG

Atlantik

Roman-22

19:26 Uhr, 01.12.2015

$> f (x) = cos (x)$ ist symmetrisch zur y-Achse
$> g (x) = sin (x)$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
$>$ Da spricht man nicht von geraden und ungeraden Funktionen.
Die letzte Aussage ist falsch!
JEDE Funktion, deren Graph axialsymmetrisch bezüglich der Ordinatenachse ist, nennt man gerade Funktion (auch wenn es da keine gerade Hochzahl gibt). Für diese Funktionen gilt $f (- x) = f (x)$ .
Ebenso nennt man JEDE Funktion, deren Graph punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs ist, eine ungerade Funktion. Für ungerade Funktionen gilt $f (- x) = - f (x)$ .

$R$

vasmer

20:31 Uhr, 03.12.2015

Danke, warum ist $g (x) =$ x/(x2−1) punktsymmetrisch zum Urpsrung, ist es so, da ein ungerader Exponent vorkommt in der Funktionsgleichung?

Roman-22

20:43 Uhr, 03.12.2015

$>$ Danke, warum ist $g (x) =$ x/(x2−1) punktsymmetrisch zum Urpsrung,
Ist $g (x)$ ja nicht.
Wenn du $x^{2}$ meinst, dann schreib das bitte auch.
Ich denke, du bist schon lange genug hier unterwegs und so schwer ist ja wirklich nicht, zu realisieren, dass man "x^2" tippen muss.
Oder verwendest du den sog. Experten-Modus? Dann solltest du auch eine entsprechende Expertise vorweisen können und dich mit LaTeX ein wenig auskennen.

Was die Punktsymmetrie anlangt: Beachte meinen Hinweis oben, dass ungerade Funktionen durch $g (- x) = - g (x)$ charakterisiert sind. Prüfe nach, ob die Funktion, die du betrachtest, diese Eigenschaft besitzt.

$R$

abakus

20:51 Uhr, 03.12.2015

" $h (x) = \sqrt[3]{x}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung".

Ich gebe zu bedenken, dass in unserem Kulturkreis $h (x) = \sqrt[3]{x}$ für negative x als undefiniert angesehen wird.

Atlantik aktiv_icon

10:45 Uhr, 04.12.2015

"Ich gebe zu bedenken, dass in unserem Kulturkreis $h (x) = \sqrt[3]{x}$ für negative $x$ als undefiniert angesehen wird."

Ich habe mal zusammengestellt, was alles " $h (x) = \sqrt[3]{x}$ "so erscheint:

$1 .)$ Wolfram liefert positive y-Werte für $h (x) = \sqrt[3]{x}$ für $x < 0$

$h (x) = \sqrt[3]{- 27}$ ergibt bei Wolfram nun $1,5 + 2,59 ... i$

$2 .) f (x)$ bei onlinemathe und bei GeoGebra bringt negative $y -$ Werte für $x < 0$

Für mich ist das verständlich

$x = - 4 \to x^{3} = {(- 4)}^{3} = - 64$

Nun die Umkehrung:

$\sqrt[3]{- 64} = - 4$

mfG

Atlantik

abakus

14:44 Uhr, 04.12.2015

"Ich habe mal zusammengestellt, was alles ...so erscheint:"

Es ist schon interessant, welche seltsame Bedeutung manche Leute mit dem Wort "alles" verknüpfen.

"Alles" ist ein sehr universelles Wort und sollte nicht eingeschränkt werden auf "alles, was Atlantik in den Kram passt".
In nicht ganz Atlantik-konformen Quellen sind Wurzeln aus negativen Zahlen z.T. prinzipiell nicht erlaubt, bzw. wird in anderen Quellen zumindest auf gegensätzliche Ansichten zu diesem Thema hingewiesen:
de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen

Atlantik aktiv_icon

11:21 Uhr, 05.12.2015

Wurzeln aus negativen Zahlen haben es in sich. Aber Potenzen von negativen Zahlen ebenso:

${(- 2)}^{3} = - 8$

$3 = \frac{6}{2}$

${(- 2)}^{\frac{6}{2}} = \sqrt{{(- 2)}^{6}} = \sqrt{64} = 8$

Wer erklärt diese Ungereimtheit?

mfG

Atlantik

abakus

16:39 Uhr, 05.12.2015

Die positive reelle Lösung der Gleichung $x^{2} = 64$ nennt man $\sqrt{64}$ , und das ist 8.
Die negative reelle Lösung der Gleichung $x^{2} = 64$ ist -8, also $- \sqrt{64}$ .
Was ist daran ungereimt?

Atlantik aktiv_icon

16:47 Uhr, 05.12.2015

Mit $x^{2} = 64$ ist das klar mit dem $\pm$ Ergebnis. Nur wenn da steht $\sqrt{64}$ ,so ist das doch nur 8 und nicht $- 8$ .

mfG

Atlantik

Roman-22

22:41 Uhr, 05.12.2015

$>$ Wer erklärt diese Ungereimtheit?
Bravo! Du hast soeben den Grund dafür nachempfunden, warum man für Potenzen $a^{b}$ mit Exponenten $b \notin ℤ$ im Reellen gerne die Forderung $a \geq 0$ aufstellt und diese Potenzen für $a < 0$ als undefiniert betrachtet.
Offenbar war es dir zeitlich nicht möglich, den ganzen Wikipedia-Artikel, auf den Gast62 dich verwiesen hat, zu lesen und zu rezipieren. Sonst hättest du vermutlich die Frage nicht gestellt.

Noch ein kleines Zuckerl für dich: $\sqrt{- 1} = {(- 1)}^{\frac{1}{2}} = {(- 1)}^{\frac{2}{4}} = {({(- 1)}^{2})}^{\frac{1}{4}} = {(+ 1)}^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{+ 1} = + 1$ . Hoppla!

Ach ja, weil dich verwundert hat, dass Onkel Wolfram $\sqrt[3]{- 8} \approx 1,5 + 2,59 i$ liefert. Das ist leicht erklärt, denn von den drei Lösungen der Gleichung $x = \sqrt[3]{- 8}$ über $ℂ$ ist das jene mit dem kleinsten Argument (Phase) - manchmal daher auch als Hauptwert bezeichnet.

Geogebra ist ein auf den Schulbetrieb zugeschnittenes Programm und da meint man eben, den Schülern und Lehrern einen Gefallen zu tun, wenn man, wenn irgend möglich, einen reellen Wert liefert. Dabei geht halt leider unter, dass $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ nur in $ℂ$ gilt, auch, wenn die beteiligten Akteure alle in $ℝ$ liegen.

$R$

vasmer

06:06 Uhr, 09.12.2015

Vielen Dank, ich versteh es jetzt.

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