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komplexe Aufgaben Ableitungen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialrechnung

mathe-peiler94 aktiv_icon

09:19 Uhr, 07.10.2010

okay,
also ich schreibe in 2 Wochen Mathe Klausur und habe dazu

12

Übungsaufgaben bekommen.
die meisten davon kann ich lösen aber es gibt leider 3 Aufgaben die ich nicht lösen kann, da steh ich irgendwie voll aufm Schlauch. Deshalb bitte ich um Hilfe am besten mit Rechenweg.

also..

1. Bestimmen sie die Punkte des Graphen der Funktion

f (x) = 0,1 x^{4} + 0,4 x^{3} - 0,8 x^{2} - 5,8 x + 8

in denen die Tangente mit der x-Achse einen Winkel von

135

Grad ergibt.

2. Gegeben sind die Graphen der Funktion

f (x) = x^{2}

und

g (x) = x^{3}

. Im Schnittpunkt

P (x | y)

mit

x > 0

sind die Tangenten an die Graphen gezeichnet.

a)

Wo schneiden diese Tangenten die y-Achse?

b)

Die beiden Tangenten schließen zusammen mit der y-Achse ein Dreieck ein. Wie groß ist dessen Flächeninhalt?

3. Gegeben sind die beiden Funktion

f

und

g

mit

f (x) = 1 + x - x^{2} - x^{3}

und

g (x) = 2 x^{2} - 8 x - 1

.
An welchen Stellen sind die Tangenten an die Graphen parallel zueinander?

Ich hoffe mir kann geholfen werden. Bin übrigens Schüler am Gymnasium, Klasse

11,

Mathe Grundkurs :-)

danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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mathemaus999

09:33 Uhr, 07.10.2010

Also,

zur ersten Aufgabe:
Wenn die Tangente die x-Achse im Winkel von 135° schneidet, dann ist deren Steigung

- 1

.
Du musst also die Ableitung von

f

bilden und diese gleich

- 1

setzen.

Zur zweiten Aufgabe:
Durch Gleichsetzen die Schnittpunkte bestimmen. Ergebnis

S (1; 1)

Danach die Tangentengleichungen ermitteln.
Steigung

f' (1) = 2

und

g' (1) = 3

Jetzt kennst du den Punkt und die Steigung und kannst die Gleichungen der Tangenten aufstellen und die Schnittpunkte mit der y-Achse bestimmen.
Zeichne dir das Ganze dann mal auf. Du siehst dann leicht, wie lang die Grundseite und die Höhe des Dreiecks sind.

Zur dritten Aufgabe:
Die Tangenten sind parallel zueinander, wenn sie die selbe Steigung haben.
Die Steigung erhält man, indem man die erste Ableitung bildet.
Es ist also gefragt, wo die Ableitungen gleich sind.
Diese Punkte findest du durch Gleichsetzen von

f'

und

g'

.

Grüße

mathe-peiler94 aktiv_icon

09:43 Uhr, 07.10.2010

sorry, jetzt komm ich mir ein bisschen dumm vor..aber wie ging gleichsetzen nochmal:-)?

mathemaus999

09:48 Uhr, 07.10.2010

Also,

hier für die zweite Aufgabe:

f (x) = g (x)

x^{2} = x^{3}

Grüße

mathe-peiler94 aktiv_icon

09:52 Uhr, 07.10.2010

ist das dann bei 1.

0,4 x^{3} + 1,2 x^{2} - 1,6 x - 5,8 = - 1

wenn ja was muss ich dann machen?
umstellen oder wie oder was?
fuck, ich peils nicht!

: (

Edddi aktiv_icon

10:06 Uhr, 07.10.2010

...jau, du musst kubische GL lösen:

0,4 \cdot x^{3} + 1,2 \cdot x^{2} - 1,6 \cdot x - 5,8 = - 1

...beide Seiten

+ 1

0,4 \cdot x^{3} + 1,2 \cdot x^{2} - 1,6 \cdot x - 4,8 = 0

...beide Seiten durch

0,4

(ist dasselbe wie mal

2,5)

x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 4 \cdot x - 12 = 0

...raten einer Nullstelle (Teiler von

12,

also mit

1,2,3,4,6

probieren)

so finden wir die erste Lösung:

x_{1} = 2

Jetzt Polynomdivison:

\frac{x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 4 \cdot x - 12}{x - 2} = x^{2} + 5 \cdot x + 6

...quadr. GL lösen, dann solltest du nun insgesamt 3 Ergebnisse haben

;-)

mathe-peiler94 aktiv_icon

10:11 Uhr, 07.10.2010

haben wir dann also

x 1 = 2

x 2 = - 2

x 3 = - 3

Edddi aktiv_icon

11:20 Uhr, 07.10.2010

...genau...nun hast du die 3 Stellen (aber NICHT Punkte), an denen die Steigung der Kurve

y = 0,1 \cdot x^{4} + 0,4 \cdot x^{3} - 0,8 \cdot x^{2} - 5,8 \cdot x + 8

- 1

ist.

Setzt du nun diese berechneten x-Werte in die Funktion ein erhälst du die dazugehörigen y-Werte und kannst dann alle 3 Punkte angeben.

;-)

mathe-peiler94 aktiv_icon

14:43 Uhr, 07.10.2010

Dankeschön :-)

Ehm gibt es bei der Aufgabe mit dem Dreieck noch ne rechnerische Möglichkeit oder nur die Möglichkeit, die Strecken abzulesen und es dann in die Flächengleichung einzusetzen?

Edddi aktiv_icon

15:05 Uhr, 07.10.2010

...die Dreiecksfläche sollst du natürlich berechnen!

Also erstmal Schnittpunkt bestimmen:

x^{3} = x^{2}

x^{3} - x^{2} = 0

x^{2} \cdot (x - 1) = 0

...Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens ein Faktor 0 ist.

x^{2} = 0

heißt

x = 0

(x - 1) = 0

heißt

x = 1

Somit existiert für

x > 0

nur ein Schnittpunkt bei

x = 1

Nun die Steigung der Tangenten am Schnittpunkt bestimmen (Über die Ableitung):

(x^{2})' = 2 \cdot x

und somit

m_{x^{2}} = 2 \cdot 1 = 2

(x^{3})' = 3 \cdot x^{2}

und somit

m_{x^{3}} = 3 \cdot 1^{2} = 3

Nun bestimmen wir beide Tangentenfunktionen (Geraden):

erstmal für Tangente an

x^{2}

y = m \cdot x + n

ist die Geradenform. Punkt

(1,1)

und die Steigung

m_{x^{2}}

einsetzen:

1 = 2 \cdot 1 + n

und damit

n = - 1

Somit haben wir für die Tangente an

x^{2}

im Punkt

(1,1) : y = 2 \cdot x - 1

jetzt die Tangente an

x^{3} :

y = m \cdot x + n

hier wieder Punkt

(1,1)

und die Steigung

m_{x^{3}}

einsetzen:

1 = 3 \cdot 1 + n

und damit

n = - 2

Somit haben wir für die Tangente an

x^{3}

im Punkt

(1,1) : y = 3 \cdot x - 2

Diese beiden Tangenten schneiden also die Y-Achse einmal bei

- 1

und bei

- 2,

dies läßt sich ohne weiteres ablesen.

Macht eine Differenz von 1 auf der y-Achse.

Betrachtet man nun diese Länge als Grundseite, so ergibt sich für die Fläche gemäß

A = \frac{G \cdot h}{2} :

A = \frac{1 \cdot 1}{2}

...da ja die Höhe

= x = 1

entspricht, egal wie schräg die Seiten sind!

(Cavalieri oder so...ist schon zu lange her)

;-)

mathe-peiler94 aktiv_icon

15:08 Uhr, 07.10.2010

genial danke :-)

haste mathe studiert?:-)

Edddi aktiv_icon

15:42 Uhr, 07.10.2010

...nö...nur aufgepasst im Matheunterricht...hihi

;-)

mathe-peiler94 aktiv_icon

15:44 Uhr, 07.10.2010

verdammt ich hab doch noch ne aufgabe:

Ermitteln sie die Winkel, den die Tangenten mit der positiven X-achse bilden.

f (x) = x^{2} - 9

Tangenten dazu:

y 1 = 6 x - 18

y 2 = - 6 x - 18

Bitte noch einmal um Hilfe...

:-)

pleindespoir aktiv_icon

23:45 Uhr, 07.10.2010

Die Tangente hat die Steigung 6 - wie wird wohl der Winkel dieser Steigung sein?

Kleiner Tipp: denke an Tangens - aber mehr verrat'ich nicht ..

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