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kürzester Abstand von Parabelpunkt zur Geraden

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung

coco-banana aktiv_icon

17:19 Uhr, 07.11.2009

Hallo,

ich hab hier eine Aufgabe, die ich nicht verstehe:

Welcher Punkt der Parabel

y = \frac{1}{6} \cdot x^{2}

liegt am Nächsten bei der Geraden

y = 0,5 x - 4

? Kürzester Abstand?

wie kann ich den berechnen bzw. herausfinden?

Lg

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proxteam aktiv_icon

18:21 Uhr, 07.11.2009

Ich definiere gebe den zwei Funktionen neue Namen:

f (x) = \frac{1}{6} x^{2}

g (x) = 0.5 x - 4

Die Differenz der beiden Funktionen

(=

Abstand) muss möglichst klein sein, dass heisst, die Differenz beider Funktionen soll minimiert werden. Es handelt sich damit um eine Extremwertaufgabe. Ich definiere eine neue Funktion, welche die jeweilige Differenz (Abstand) eines Punktes

x

beider Funktionen

f (x)

und

g (x)

zurückliefert.

h (x) = \frac{1}{6} x^{2} - (0.5 x - 4) \Leftrightarrow \frac{1}{6} x^{2} - 0.5 x + 4

Diese Funktion

h (x)

soll minimiert werden,

d . h

. die Ableitung von

h (x)

muss 0 sein und die zweite Ableitung muss grösser 0 sein, um sicher zu gehen, dass wir einen Tiefpunkt gefunden haben.

h' (x) = \frac{1}{3} x - 0.5

h' (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} x - 0.5 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} x = 0.5 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}

Überprüfen wir, ob

x = \frac{3}{2}

eine Minimalstelle ist:

h'' (x) = \frac{1}{3},

h'' (\frac{3}{2}) = \frac{1}{3}

und damit grösser als 0 ist, haben wir eine Minimalstelle gefunden.

Der Punkt auf der Parabel

f (x),

der den kürzesten Abstand zu deiner Gerade

g (x)

hat, ist wie folgt zu berechnen:

f (\frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{12} = \frac{3}{8}

Der Punkt

P (\frac{3}{2}, \frac{3}{8})

auf der Parabel

f (x)

hat den kürzesten Abstand zur Gerade

g (x) .

Gruss proxteam

BjBot aktiv_icon

18:37 Uhr, 07.11.2009

Die Differenz der Funktionswerte ist im Allgemeinen kein Maß für den ABstand, insofern ist der Ansatz falsch.
Das würde nur bei einer zur x-Achse parallelen Gerade funktionieren.

Hier eine Skizze:

proxteam aktiv_icon

19:14 Uhr, 07.11.2009

Hallo BjBot,

ja Du hast Recht - da der Abstand orthogonal zur linearen Funktion gemessen wird. Ein möglicher Ansatz wäre dies mit Vektoren zu lösen.

BjBot aktiv_icon

19:20 Uhr, 07.11.2009

Sehr schnell geht es mit der HNF falls diese schon behandelt wurde.

coco-banana aktiv_icon

19:39 Uhr, 07.11.2009

Hey, danke ihr beiden :-)

nur was soll ich jetzt machen? HNF hatte ich glaube ich noch nicht, zumindest kenne ich die Abkürzung nicht... könntest ihr mir noch einmal einen Ansatz vorgeben?

bruchspezialistin aktiv_icon

20:56 Uhr, 07.11.2009

f (x) = \frac{1}{6} x^{2}

g (x) = 0,5 x - 4

1. Bestimme die Gleichung der Geraden

n (x),

die durch einen Punkt

P (x | f (x))

geht und die Steigung

- \frac{1}{0,5} = - 2

hat. Diese steht senkrecht auf die Gerade

g

.

2. Bestimme den Schnittpunkt

S

von

g (x)

und

n (x)

.

3. Bestimme mit dem Satz des Pythagoras den Abstand zwischen

P

und S.

coco-banana aktiv_icon

12:41 Uhr, 08.11.2009

Viielen dank, jetzt verstehe ich schon besser wie ich vorgehen muss :-)

Trotzdem weiß ich nicht richtig, wie ich die Gleichung für die orthogonale
Gerade

n (x)

herausbekommen kann. Um die aufzustellen brauche ich doch außer der Steigung

m = - 2

auch noch einen Punkt, den ich dann einsetzen kann oder?

Den Punkt

P (x

f(x))schneidet die Gerade

n (x)

doch dann in der Parabel

f (x),

also ist das der gemeinsame Punkt von denen beiden, oder?
Bekomm ich den Punkt

P

dann so heraus, dass ich eine Tangente parallel zur
Geraden

g (x)

an die Parabel

f (x)

anlege und den Berührpunkt dann als diesen Punkt

P

nehme???

Ich hab gerade keine andere Idee wie ich den Punkt

P

sonst herausbekommen sollte...

bruchspezialistin aktiv_icon

13:30 Uhr, 08.11.2009

Einfach in

y = m \cdot x + b

einsetzen. :-)

Sei

P (a | f (a))

ein Punkt auf dem Graphen von

f (x) :

\frac{1}{6} a^{2} = - 2 a + b

\Leftrightarrow b = \frac{1}{6} a^{2} + 2 a

\to n (x) = - 2 x + \frac{1}{6} a^{2} + 2 a

coco-banana aktiv_icon

14:30 Uhr, 08.11.2009

hmm.. also muss ich überhaupt nichts mit einer Tangente machen? Eigentlich sollte das eine Übung zu Ableitungen sein.

Wenn ich dann die Gleichung

n (x) = - 2 x + \frac{1}{6} a^{2} + 2 a

habe, muss ich die dann ja um den Schnittpunkt

S

von ihr mit der Geraden

g

gleichsetzen...

mache ich das dann so? :

- 2 x + \frac{1}{6} a^{2} + 2 a = 0,5 a - 4

???

ich hab ja dann 2 Unbekannte

x

und

a ... .

könntet ihr mir bitte nochmal helfen?

coco-banana aktiv_icon

14:34 Uhr, 08.11.2009

Achso.. und übrigends, die Lösungen sollen für

P (1,5 o,375)

und für den Abstand

d = \frac{29}{4} \sqrt{5}

sein.

danke schonmal ;-)

BjBot aktiv_icon

15:11 Uhr, 08.11.2009

Die Wurzel müsste noch in den Nenner bei deiner Kontrollösung.

Du erwähntest oben, dass du es mit einer Tangente machen sollst bzw mit Ableitungen.
Das ist natürlich noch viel eleganter denn da musst du dann einfach nur gucken an welcher Stelle die Parabel die Steigung der Geraden hat, also f '(x)=0,5 lösen wobei f(x)=(1/6)x² die Parabelgleichung als Funktion sein soll.
Das wäre dann sozusagen einfach nur eine Parallelverschiebung der Geraden bis sie die Parabel berührt.

Damit bekommst du dann direkt den Punkt P aus der Skizze oben.

Der letzte Schritt entspricht dann wieder Schritt 3 von bruchspezialistin.

coco-banana aktiv_icon

16:40 Uhr, 08.11.2009

Genau das habe ich gemeint!! ;-)

Ich habs nochmal genauso durchgerechnet und am Schluss den Pythagoras benutzt und kam auch auf die richtigen Lösungen. Im Lösungsheft steht die Wurzel zwar im Zähler, aber weil ich letztens schonmal einen kleinen Fehler entdeckt habe, wird das schon stimmen..hehe

Vielen Dank euch!!

BjBot aktiv_icon

16:42 Uhr, 08.11.2009

Freut mich, dass du es hinbekommen hast =)

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