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n-te Ableitung vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, Vollständig Induktion

BigNell aktiv_icon

19:27 Uhr, 30.06.2011

Hallo! Hoffe jemand kann mir helfen. Bin an folgender Aufgabe dran. Es handelt sich um vollständige Induktion:
Sei

f (x) = ln (1 - \frac{x}{2})

zeigen Sie, dass für die n-te Ableitung gilt:

f^{n} (x) = \frac{(- 1) \cdot (n - 1)!}{{(2 - x)}^{n}}

Hab soweit alles gemacht und denke es ist auch richtig bis zum Induktionsschluß, dort komme ich nicht weiter. Zu zeigen ist nun

f^{n + 1} (x) = (f^{n} (x))'

f^{n + 1} (x) = \frac{(- 1) \cdot (n)!}{{(2 - x)}^{n + 1}}

Wie bilde ich nun die Ableitung von

(f^{n} (x))' = (\frac{(- 1) \cdot (n - 1)!}{{(2 - x)}^{n}})'

ich hätte das mit der Quotientenregel gemacht, aber dann mus sich die Ableitung von

(n - 1)!

bilden und da weiß ich nicht wie das geht.... kann mir einer das mal bitte Ableiten und ausführlich erklären, was für Schritte er da verwendet hat? Weiß, ist ne mühselige Arbeit würde mir aber ungemein helfen. Danke!

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Sina86

19:44 Uhr, 30.06.2011

Hi,

Quotientenregel ist richtig. Du leitest nach

x

ab und nicht nach

n

(anscheinend ist das die Ursache für die Verwirrung). Der Zähler ist von

x

unabhängig und somit ist seine Ableitung

= 0

.

Lieben Gruß
Sina

Gerd30.1 aktiv_icon

19:55 Uhr, 30.06.2011

also

(f^{(n)} (x))' = (\frac{- (n - 1)!}{{(2 - x)}^{n}})' = (- (n - 1)! \cdot {(2 - x)}^{- n})' = (- (n - 1)! \cdot (- n) (- 1) {(2 - x)}^{- n - 1}) =

= (- n! \cdot {(2 - x)}^{- n - 1}) = \frac{- n!}{{(2 - x)}^{n + 1}} q . e . d

BigNell aktiv_icon

20:21 Uhr, 30.06.2011

wahh.... ?? Danke für eure Antworten erstmal.... aber hab da noch paar fragen..

@ Gerd danke für deine Antwort... aber
bei diesm Schritt

(f^{n} (x))' = - (n - 1)! \cdot (- n) {(2 - x)}^{- n - 1} (- 1)

wie kommst du auf die

(- 1)

hier am ende?

...

. die zusammenfassung danach, habe ich leider auch nicht ganz verstanden...man kommt ja wieder auf

- (n - 1)! \cdot (- n) (- 1) \cdot \frac{1}{{(2 - x)}^{n - 1}}

und weiter.. ??

@ Sina, danke für deine Antwort...... aber irgendwie steige ich doch nicht so ganz durch jetzt, wenn ich jetzt bei der Quotientenregel bleibe.
dann wäre ja der nächste schritt:

(\frac{0 \cdot {(2 - x)}^{n} - (- 1) \cdot (n - 1)! \cdot n {(2 - x)}^{n - 1}}{{(2 - x)}^{2 n}})

hier weiß ich nicht weiter!Oder ist das überhaupt richtig so!?

Wenn ein anderer hier eingestigen ist und hier durchblickt, kann er oder sie mir auch gerne helfen.
Danke für eure Bemühungen.

Gerd30.1 aktiv_icon

21:24 Uhr, 30.06.2011