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partielle Ableitung mit Logarithmus

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Funktionen

Tags: Ableitung, Logarithmus, partiell

Nelelele aktiv_icon

17:48 Uhr, 02.11.2009

Hallo ihr Matheprofis!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Die Funktion lautet

f(x,y)=x^2log(y^2)

und gesucht sind die partiellen Ableitungen, erster Ordnung einmal von

x

und einmal von

y

.
So, wenn ich jetzt versuche die erste Ableitung nach

x

zu bilden soll als ERgebnis sein:

fx(x,y)=2xlog(y^2)

Ich meine ich verstehe warum da steht

2 x

aber warum bleibt das

y

so stehen?
Die Ableitung nach

y

soll heißen:

fy(x,y)=2x^2/y

und das verstehe ich überhaupt nicht, mir ist zwar klar das

log (x) = \frac{1}{x}

umschrieben werden kann aber irgendwie hilft mir das trotzdem nicht weiter

: (

Kann mir vielleicht irgendjemand erklären was hinter dem ganzen Spuk steckt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

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MBler07 aktiv_icon

17:54 Uhr, 02.11.2009

Hi

Partiell ableiten heißt: Nach einer Variable wird abgeleitet. ALLE anderen werden als konstanten betrachtet. Diese werden bei der Ableitung genauso behandelt wie Zahlen.

Wenn du die Kurvenschar

f_{t} (x) = t \cdot x^{2}

ableitest, kommst du auf

f_{t}' (x) = 2 \cdot t \cdot x

. Genauso ist das auch bei partiellen Ableitungen.

Soweit klar? Kannst du das hier anwenden?

Grüße

Nelelele aktiv_icon

18:01 Uhr, 02.11.2009

Hallo!

Also das was du geschrieben hast leuchtet mir ein, und ich denke ich verstehe warum bei der Ableitung nach

x

der log stehen bleibt, weil er durch ein

\cdot

x

hängt, kann das sein?
Aber ich kann mir prinzipell die Ableitung nach

y

trotzdem nicht erklären.

MBler07 aktiv_icon

18:05 Uhr, 02.11.2009

Das mit dem

x

stimmt.

Bei der nach

y

fehlt dir vlt der Zwischenschritt:

f_{y} (x; y) = x^{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} \cdot 2 y = \frac{2 y \cdot x^{2}}{y^{2}} = \frac{2 x^{2}}{y}

Der Logarithmus muss ja nach der Kettenregel abgeleitet werden. Alternativ kannst du auch über die Logarithmusgesetze gehen:

f (x; y) = x^{2} \cdot log (y^{2}) = x^{2} \cdot 2 \cdot log (y)

\to f_{y} (x; y) = x^{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{2 x^{2}}{y}

Jetzt verständlich?

Nelelele aktiv_icon

18:10 Uhr, 02.11.2009

Ok, soweit habe ich das jetzt kapiert. Mir hat wirklich die Einsicht über die Kettenregel gefehlt. Vielen Dank! Du bist spitze :-D)

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