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wie mache ich die ableitung von...

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, einer e funktion

blluubb aktiv_icon

14:58 Uhr, 28.08.2011

heyy leute wie leite ich

\frac{6}{1 + 5 e^{- 2} x}

das

x

gehört zur

- 2

also

e

hoch

- 2 x

so also von meiner seite aus weiss ich das ich entweder die quotientenregel machen könnte oder die reziprokenregel erklärt es mir liebe rmit der quotienten

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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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DmitriJakov aktiv_icon

15:01 Uhr, 28.08.2011

Der Zahler ist

u

und der Nenner ist

v

. Die Quotientenregel sagt nun:

f' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}

und weil im Zähler eine Konstante steht verkürzt sich das Ganze zu:

f' = \frac{- u v'}{v^{2}}

blluubb aktiv_icon

15:06 Uhr, 28.08.2011

ja ich verstehe das schon aber ich weiss leider nicht wie man die besagte formel ableitet also wie leite ich

1 + 5 e^{- 2} x

ab wie gesagt

x

gehört zur

- 2

DmitriJakov aktiv_icon

15:12 Uhr, 28.08.2011

Also die Ableitung von 1 wirst Du wohl hinbekommen ;-) Ich nehme an, dass es Dir um die

5 \cdot e^{- 2 x}

(Die man hier übrigens so schreibt: "5*e^(-2x)")

Hier brauchst Du die Kettenregel. Die e-Funktion abgeleitet ergibt wieder sich selbst, also:

5 \cdot e^{- 2 x}

. Und jetzt musst Du den exponenten nachdifferenzieren: die Ableitung von

- 2 x

lautet

- 2

. Also, alles zusammen:

v = 1 + 5 \cdot e^{- 2 x}

v' = 5 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 10 e^{- 2 x}

blluubb aktiv_icon

15:19 Uhr, 28.08.2011

vielen danke für deine hilfe das stichwort kettenregel hatte mir gefehlt ich hatte leider alles vergessen aber könntest du mir auch bei der ableitung der ableitung helfen ich weiss nach meinen lösungen zu urteilen ist das echt viel aber ich muss es vertsehen wäre nett wenn wir gemeinsam noch die zweite ableitung machen könten

DmitriJakov aktiv_icon

15:24 Uhr, 28.08.2011

Mach erstmal die erste fertig ;-) Da gibt es bestimmt noch was zum Zusammenfassen :-)

blluubb aktiv_icon

15:26 Uhr, 28.08.2011

ach so ja klar also hab ich schon am ende steht da

\frac{- 60 e^{- 2 x}}{{(1 + 5 e^{- 2 x})}^{2}}

DmitriJakov aktiv_icon

15:30 Uhr, 28.08.2011

Bist Du sicher, dass vor der

60

ein Minuszeichen steht? ;-)

blluubb aktiv_icon

15:34 Uhr, 28.08.2011

jetzt bin ich verwirrt wieso ich dachte

v' \cdot u

wäre

- 10 e^{- 2 x} \cdot 6

blluubb aktiv_icon

15:35 Uhr, 28.08.2011

vergiss was ich gesagt hab du hast recht :-D) da steht ja noch ein minus sorry hast recht

DmitriJakov aktiv_icon

15:37 Uhr, 28.08.2011

Ja, und die (verkürzte) Quotientenregel lautete:

\frac{- u v'}{v^{2}}

Also:

\frac{- 6 \cdot (- 10 e^{- 2 x})}{1 + 5 e^{- 2 x}}

blluubb aktiv_icon

15:40 Uhr, 28.08.2011

lust mir die zweite ableitung zu erklären :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

15:54 Uhr, 28.08.2011

Lust es selbst zu versuchen? ;-)

u = 60 \cdot e^{- 2 x}

Das müsstest Du jetzt selbst ableiten können, das ist das Selbe wie eben in Grün.

v = {(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})}^{2}

Hier hast Du eine zweifache Anwendung der Kettenregel. Als erstes hast Du

w^{2}

. Dann steckt in

w : 1 + 5 \cdot e^{z}

und

z = - 2 x

Sorry, mir gingen die Buchstaben aus :-D)
Also, zuerst die Klammer ableiten:

2 \cdot {(1 + 5 e^{- 2 x})}^{1}

Dann den Klammerinhalt nachdifferenzieren:

5 e^{- 2 x}

dann den Exponenten der e-Funktion nachdifferenzieren:

- 2

Alles zusammen:

v' = 2 \cdot (1 + 5 e^{- 2 x}) \cdot 5 e^{- 2 x} \cdot (- 2)

Und bevor Du nun dieses

v'

in die Quotientenregel einbaust, solltest Du noch vereinfachen und zusammenfassen.

blluubb aktiv_icon

16:16 Uhr, 28.08.2011

okay also ich hab bei mir jetzt stehen:

\frac{- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot {(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})}^{2} - 2 \cdot (1 + 5 \cdot e^{- 2 x}) \cdot (- 10 \cdot e^{- 2 x}) \cdot 60 \cdot e^{- 2 x}}{{(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})}^{4}}

ganz schön lang ist das bis jetzt richtig ?

DmitriJakov aktiv_icon

16:27 Uhr, 28.08.2011

Müste so passen. Was sagt die Musterlösung?

blluubb aktiv_icon

16:34 Uhr, 28.08.2011

also die musterlösung hat als endergebnis:

\frac{- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot (1 - 5 \cdot e^{- 2 x})}{{(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})}^{3}}

aber ich hab keine ahnung wie ich von dem was bei mir steht dahin komme

prodomo aktiv_icon

16:46 Uhr, 28.08.2011

@Dmitri: nur ein Tip
diese Gleichung für logistisches Wachstum lässt sich für Schüler besser behandeln, wenn der Nenner als Potenz mit negativer Hochzahl geschrieben wird. Die Formel wird kürzer und ähnelt von vornherein mehr der angegebenen Lösung.

So long
Prodomo

DmitriJakov aktiv_icon

17:05 Uhr, 28.08.2011

Ich mache jetzt mal nur den Zähler:

- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot {(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})}^{2} - 2 \cdot (1 + 5 \cdot e^{- 2 x}) \cdot (- 10 \cdot e^{- 2 x}) \cdot 60 e^{- 2 x}

Die letzten beiden faktoren auf der rechten Seite mulitipliziere ich aus.

- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot {(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})}^{2} - 2 \cdot (1 + 5 \cdot e^{- 2 x}) \cdot (- 120 \cdot e^{- 4 x})

und kürze mit dem gedachten Nenner jetzt einmal

(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})

- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot (1 + 5 \cdot e^{- 2 x}) - 2 \cdot (- 120 \cdot e^{- 4 x})

Und nun klammere ich aus:

- 120 \cdot e^{- 2 x}

- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot ((1 + 5 \cdot e^{- 2 x} - 2 \cdot e^{- 2 x})

- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot (1 + 3 \cdot e^{- 2 x})

Vielleicht habe ich da jetzt einen Fehler drin, aber das kommt jetzt bei mir raus.

Zusammen mit dem Nenner ist es dann:

\frac{- 120 \cdot e^{- 2 x} \cdot (1 + 3 \cdot e^{- 2 x})}{{(1 + 5 \cdot e^{- 2 x})}^{3}}

blluubb aktiv_icon

17:20 Uhr, 28.08.2011

danke für deine hilfe

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