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3. Ableitung Gauß Funktion

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Gaußfunktion

christian11

09:18 Uhr, 20.10.2019

Hallo zusammen,

ich bin gerade mit den Ableitungen der Gauß-Funktion

f (x) = \frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 \cdot π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}

zugange.

Die erste und zweite Ableitung haben auch halbwegs gut geklappt, bei der dritten komme ich aber zumindest nicht auf die Angaben der Lösung. Hier mein Ansatz:

2te Ableitung

f'' (x) = \frac{{(μ - x)}^{2} - σ^{2}}{σ^{4}} \cdot f (x)

u (x) = \frac{{(μ - x)}^{2} - σ^{2}}{σ^{4}}

u' (x) = \frac{- 2 (μ - x)}{σ^{4}}

v (x) = f (x)

v' (x) = f' (x) = \frac{μ - x}{σ^{2}} \cdot f (x)

f''' (x) = \frac{- 2 (μ - x)}{σ^{4}} \cdot f (x) + \frac{{(μ - x)}^{2} - σ^{2}}{σ^{4}} \cdot \frac{μ - x}{σ^{2}} \cdot f (x) = f (x) \cdot (\frac{- 2 (μ - x)}{σ^{4}} + \frac{{(μ - x)}^{2} - σ^{2}}{σ^{4}} \cdot \frac{μ - x}{σ^{2}})

Die Lösung gibt

f''' (x) = \frac{(μ - x) \cdot ({(μ - x)}^{2} - 3 σ^{2})}{σ^{6}} \cdot f (x)

vor, ich weiß allerdings nicht, wie ich durch Vereinfachung darauf komme. Oder habe ich in meinem Ansatz schon einen Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:12 Uhr, 20.10.2019

Wie sieht deine 1. Ableitung aus?

vgl:
www.onlinemathe.de/forum/Ableitung-Normalverteilung-Gausssche-Glockenkurv

christian11

18:05 Uhr, 20.10.2019

Meine 1. Ableitung ist

f' (x) = \frac{μ - x}{σ^{2}} \cdot f (x),

die zweite wie gesagt

f'' (x) = \frac{{(μ - x)}^{2} - σ^{2}}{σ^{4}} \cdot f (x)

HAL9000

19:16 Uhr, 21.10.2019

Deine Ableitungen stimmen, alle drei. Die Terme wuchern so, weil gleich die allgemeine Normalverteilung betrachtet wird. Man kann alternativ auch so vorgehen:

Es ist

f (x) = \frac{1}{σ} φ (\frac{x - μ}{σ})

mit der Dichtefunktion

φ

der Standardnormalverteilung. Für letztere gilt

φ' (x) = - x φ (x)

φ'' (x) = - φ (x) - x φ' (x) = (x^{2} - 1) φ (x)

φ''' (x) = 2 x φ (x) + (x^{2} - 1) φ' (x) = x (3 - x^{2}) φ (x)

Nach Kettenregel ist nun

f^{(n)} (x) = \frac{1}{σ^{n + 1}} φ^{(n)} (\frac{x - μ}{σ})

, also u.a. für

n = 3

f''' (x) = \frac{1}{σ^{4}} φ''' (\frac{x - μ}{σ}) = \frac{x - μ}{σ^{4}} (3 - {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}) f (x)

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