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3. Ableitung Gauß Funktion

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Gaußfunktion

 
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christian11

christian11

09:18 Uhr, 20.10.2019

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Hallo zusammen,

ich bin gerade mit den Ableitungen der Gauß-Funktion f(x)=1σ2πe-12(x-μσ)2 zugange.

Die erste und zweite Ableitung haben auch halbwegs gut geklappt, bei der dritten komme ich aber zumindest nicht auf die Angaben der Lösung. Hier mein Ansatz:

2te Ableitung f''(x)=(μ-x)2-σ2σ4f(x)

u(x)=(μ-x)2-σ2σ4

u'(x)=-2(μ-x)σ4

v(x)=f(x)

v'(x)=f'(x)=μ-xσ2f(x)

f'''(x)=-2(μ-x)σ4f(x)+(μ-x)2-σ2σ4μ-xσ2f(x)=f(x)(-2(μ-x)σ4+(μ-x)2-σ2σ4μ-xσ2)

Die Lösung gibt f'''(x)=(μ-x)((μ-x)2-3σ2)σ6f(x) vor, ich weiß allerdings nicht, wie ich durch Vereinfachung darauf komme. Oder habe ich in meinem Ansatz schon einen Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
supporter

supporter aktiv_icon

10:12 Uhr, 20.10.2019

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Wie sieht deine 1. Ableitung aus?

vgl:
www.onlinemathe.de/forum/Ableitung-Normalverteilung-Gausssche-Glockenkurv
christian11

christian11

18:05 Uhr, 20.10.2019

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Meine 1. Ableitung ist f'(x)=μ-xσ2f(x), die zweite wie gesagt f''(x)=(μ-x)2-σ2σ4f(x)
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

19:16 Uhr, 21.10.2019

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Deine Ableitungen stimmen, alle drei. Die Terme wuchern so, weil gleich die allgemeine Normalverteilung betrachtet wird. Man kann alternativ auch so vorgehen:

Es ist f(x)=1σφ(x-μσ) mit der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung. Für letztere gilt

φ(x)=-xφ(x)

φ(x)=-φ(x)-xφ(x)=(x2-1)φ(x)

φ(x)=2xφ(x)+(x2-1)φ(x)=x(3-x2)φ(x)

Nach Kettenregel ist nun f(n)(x)=1σn+1φ(n)(x-μσ), also u.a. für n=3

f(x)=1σ4φ(x-μσ)=x-μσ4(3-(x-μσ)2)f(x) .