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Ableiten einer Formel

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Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Sonstig

Max6487 aktiv_icon

13:25 Uhr, 04.10.2019

Hallo, ich möchte gerne die folgende Formel ableiten, und die vielen Variablen machen es mir schwer ;-).
φ(t)=φ ̂*sin(√(g/l)*t+φ_0

),

bessere Darstellungsweise funktioniert gerade nicht.
( In Worten:

Φ

von

t = φ

hut mal Sinus, klammer auf, wurzel

g

durch

l,

mal

t

plus

φ

null)

Diese Formel soll nach

t

abgeleitet werden, sodass daraus entsteht:
φ ̈_((t))+g/l*φ_((t))=0 ( In Worten: 2 Ableitung von

φ

von

t

plus

g

durch

l

mal

φ

von

t

ist gleich 0

Vielen Dank für Tipps von klugen Matheköpfen.
Schönes WE Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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anonymous

14:17 Uhr, 04.10.2019

Hallo
In Worten zu wiederholen, was schon in Symbolen nur vage verständlich ist, macht es nicht verständlicher.
Wenn Zweifel besteht, empfiehlt sich immer, durch Klammern die Zweifel auszuräumen.

Ich vermute, gemeint war:

φ (t) = φ^{sin (φ_{0} + t \cdot \sqrt{\frac{g}{l}})}

Tipp:

φ (t) = φ^{sin (φ_{0} + t \cdot \sqrt{\frac{g}{l}})} = e^{ln (φ^{sin (φ_{0} + t \cdot \sqrt{\frac{g}{l}})})} = e^{sin (φ_{0} + t \cdot \sqrt{\frac{g}{l}}) \cdot ln (φ)}

Jetzt hast du doch nur noch ein "t". Da brauchst du keine Produktregel. Es genügt die Kettenregel.
Versuch's mal!
Wir stehen dir ja bei, wenn's noch klemmen sollte...

PS:
Das was du unter
"Diese Formel soll nach

t

abgeleitet werden, sodass daraus entsteht:"
stehen hast, ist eine Differenzialgleichung, und garantiert nicht die Ableitung obiger Funktion.
Jetzt mach mal eins nach dem anderen. Dann können wir später noch sortieren, was eigentlich im Hintergrund gemeint ist und zu tun ist...

anonymous

17:32 Uhr, 04.10.2019

Beim nochmals drüber blicken wächst der Verdacht, dass sowohl Funktionsgleichung als auch Differenzialgleichung aus der gewöhnlichen Schwingungslehre stammen.
Dann wäre wohl gemeint:

φ (t) =

phi_Amplitude

\cdot sin (ω \cdot t + φ_{0})

mit

ω = \sqrt{\frac{g}{l}}

Das macht's einfacher - und der Rest des Gesagten bleibt unbenommen...

Max6487 aktiv_icon

15:41 Uhr, 07.10.2019

Hallo 11engleich,
danke für Ihre zügige Antwort!
...leider hat es etwas gedauert zu antworten meinerseits, da die Technik zur Zeit ziemlich streikt bei mir.

Genau, sind Formeln aus der Schwimgungslehre. Jetzt muss ich gestehen die Herangehensweise an die Ableitung nicht ganz zu kapieren. Könnten Sie mir Schritt für Schritt die Herangehensweise erläutern?

Wäre ganz lieb,
und toll Ihr Engagement hier!

anonymous

18:51 Uhr, 07.10.2019

Ich erlaube mir mal, statt dieses Wurzelausdrucks einfach

\sqrt{\frac{g}{l}} = ω

zu schreiben. Das macht's mir leichter und dir übersichtlicher.

φ (t) =

phi_amplitude

\cdot sin (ω \cdot t + φ_{0})

Ableitung nach

t :

φ' = d \frac{φ}{d t} =

phi_amplitude

\cdot . .

.
Das phi_amplitude ist doch einfach ein konstanter Faktor.
Ein konstanter Faktor bleibt doch bei der Ableitung erhalten.

φ' = d \frac{φ}{d t} =

phi_amplitude

\cdot cos (...) . .

.
Die Sinus-Funktion abgeleitet wird zur Cosinus-Funktion.

φ' = d \frac{φ}{d t} =

phi_amplitude

\cdot cos (ω \cdot t + φ_{0}) \cdot . .

.
Das Argument des

cos

darfst du zunächst mal einfach übernehmen (abschreiben).

Jetzt musst du aber die Kettenregel beachten.

[sin (u (t))]' = cos (u (t)) \cdot u' (t)

Also wirst du noch die Ableitung der inneren (Argumenten-)Funktion "u" bilden müssen.
Die heißt in unserm Fall:

u = ω \cdot t + φ_{0}

Und die nach

t

abzuleiten ist wirklich Standard:

u' = ω \cdot 1 + 0 = ω

Also:

φ' = d \frac{φ}{d t} =

phi_amplitude

\cdot cos (ω \cdot t + φ_{0}) \cdot u' (t)

φ' = d \frac{φ}{d t} =

phi_amplitude

\cdot cos (ω \cdot t + φ_{0}) \cdot ω

Meist ordnet man noch übersichtlich um:

φ' = d \frac{φ}{d t} =

phi_amplitude

\cdot ω \cdot cos (ω \cdot t + φ_{0})

Die Ableitungen musst du wirklich mal üben und festigen.
Willst du mal die zweite Ableitung bilden (Das ist einfach die Ableitung der Ableitung)?
Fang mal an, zeig mal.
Wir helfen und korrigieren dann schon...

Max6487 aktiv_icon

18:06 Uhr, 08.10.2019

Danke 11engleich,
bei der 2ten Ableitung ist ja dann wieder die Kettenregel anzuwenden. Aus dem

cos

wird ein

(- sin)

.
Wir hatten die Ableitungen im Studium nur ganz kurz angesprochen, war aber für uns eher nebensächlich, daher ist es für mich etwas neu die Anwendung.

Ich hoffe die 2te Ableitung jetzt richtig gemacht zu haben.

Damit kann ich dann die ursprüngliche Frage beantworten? Indem ich für die 2te Ableitung von

φ

in Formel

(6)

einsetze?

Mit freundlichen Grüßen
Max

ledum aktiv_icon

19:42 Uhr, 08.10.2019

Ja, wenn du richtig differenziert hast muss die Dgl rauskommen
Gruß ledum

anonymous

23:43 Uhr, 08.10.2019

"Ich hoffe(,) die 2te Ableitung jetzt richtig gemacht zu haben."
Das hoffen wir auch.
Aber besser, als uns hier unsere Hoffnungen auszutauschen, wäre doch, du würdest einfach zeigen, wie deine 2. Ableitung aussieht.
Dann könnten wir bestätigen, oder verbessern, oder Sicherheit geben, oder korrigieren, oder konstruktiv voran kommen.
So bleibt es dabei, dass wir diplomatisch Hoffnung ausdrücken, und keine Ahnung haben, ob oder wie wir dir weiter helfen könnten...

Max6487 aktiv_icon

13:47 Uhr, 09.10.2019

Tut mir leid,
das Bild was ich hochgeladen habe ist unbemerkt nicht hochgeladen worden.

Also: hier die 2te Ableitung.

MfG

Max6487 aktiv_icon

13:50 Uhr, 09.10.2019

2te Abl.

φ (t) = ω^{2} \cdot φ \cdot ((- sin) \cdot ω \cdot t + φ_{0})

Bilder hochladen funktioniert gerade leider nicht bei mir. Das

φ

vor der Klammer ist ein

φ

"hut".

MfG

anonymous

15:37 Uhr, 09.10.2019

Wir ahnen, du meinst das Richtige, nur formal solltest du auch lernen, das verständlich niederzuschreiben.
Korrekt:

φ'' =

-phi_amplitude*omega^2*sin(omega*t+phi_0)

Max6487 aktiv_icon

16:34 Uhr, 09.10.2019

Ok, danke.

Was mir jetzt noch unklar ist: " Zeigen Sie, dass Gleichung

(7)

die Differentialgleichung aus

(6)

löst. Leiten Sie dafür, wie mittlerweile geschafft, Gleichung (7)

2

mal nach

t

ab und setzen Sie das Ergebnis in Gleichung 6 ein."

Das heißt (eingesetzt):
-phi_amplitude*omega^2*sin(omega*t+phi_0)+g/l*phi_t

= 0

Muss ich hierfür ein variable einsetzen? Oder ergibt sich

= 0

aus der Formel, wenn

z . b

. Omega

= 0

ist?

ledum aktiv_icon

17:01 Uhr, 09.10.2019

Hallo
die Dgl ist nur erfüllt, wenn sie für alle

x

gilt, und statt

ω

musst du natürlich wieder

\sqrt{\frac{g}{l}}

einsetzen, das war ja nur ne Abkürzung.
und natürlich

φ (t)

nicht nur

φ (t)''

Gruß ledum

Max6487 aktiv_icon

18:35 Uhr, 09.10.2019

Hallo ledum,

φ'' + \frac{g}{l} \cdot φ_{t} = 0

ist die Formel in die ich die 2te Ableitung einsetzen soll.

Heißt das, dass ich hier hür

φ''

die 2te Ableitung einsetze, und für

φ_{t}

die nichtabgeleitete Formel einsetze?

Die Dgl ist nur erfüllt, wenn sie für alle

x

gilt. Was ist den in diesem Fall das x?

Danke,
Grüße

anonymous

21:59 Uhr, 09.10.2019

"Heißt das, dass ich hier (f)ür

φ''

die 2te Ableitung einsetze, und für

φ (t)

die nicht-abgeleitete Formel einsetze?"
Ja.

"Die DGL ist nur erfüllt, wenn sie für alle

x

gilt."
Ledum ist ein wenig verkommen.

φ (t)

ist ja eine Funktion der Variablen

' t'

.
Also: Die DGL ist nur erfüllt, wenn sie für alle

t

gilt.

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