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Ableitung Wurzel

Schüler

Tags: Ableitung, problem, Wurzel

couman990 aktiv_icon

18:37 Uhr, 09.11.2016

Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit der Ableitung dieser Aufgabe:

{(2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x)}^{0,5}

Laut Lösung sollen hier

\frac{3 x - 2}{{(2 x)}^{0,5}}

rauskommen . Kann mir jemand den lösungsweg darlegen? Ich schaffe es nicht die Funktion soweit zu kürzen.
Danke im Voraus

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ledum aktiv_icon

18:44 Uhr, 09.11.2016

Hallo
vereinfache zuerst:

{(2 x)}^{\frac{1}{2}}

rausziehen, dann Binom erkennen und daraus die Wurzel ziehen.
Gruß ledum

couman990 aktiv_icon

19:02 Uhr, 09.11.2016

Ok danke,
aber wie muss ich nach dem

(x - 1)

weiter machen?

Atlantik aktiv_icon

19:09 Uhr, 09.11.2016

[{(2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x)}^{0,5}]

= \frac{6 x^{2} - 8 x + 2}{2 \sqrt{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x}} = \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\sqrt{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x}}

Ich weiß nicht, wo man da noch kürzen kann.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:11 Uhr, 09.11.2016

doppelt!

abakus

19:24 Uhr, 09.11.2016

"Ich weiß nicht, wo man da noch kürzen kann."

Was ledum NICHT geschrieben hat: "Leite ab und versuche hinterher zu kürzen".

Was sie geschrieben hat:
"... zuerst..."

Atlantik aktiv_icon

19:49 Uhr, 09.11.2016

{(2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x)}^{0,5} = {[2 x \cdot (x^{2} - 2 x^{2} + 1)]}^{0,5} = {(2 x)}^{0,5} \cdot {({(x - 1)}^{2})}^{0,5} = {(2 x)}^{0,5} \cdot (x - 1)

Nun wie ein Produkt differenzieren.

Ich frage mich nur, warum nicht gleich auf herkömmlichem Weg differenzieren.

mfG

Atlantik

couman990 aktiv_icon

19:49 Uhr, 09.11.2016

Danke, bis zu der Rechnung von atlantik bin ich auch gekommen, jedoch weiß ich nicht wie es weitergeht.

couman990 aktiv_icon

19:50 Uhr, 09.11.2016

Beide Ansätze verstehe ich, jedoch nicht wie man auf die Lösung kommt. Ist diese Lösung in euren Augen falsch ?

abakus

20:19 Uhr, 09.11.2016

"Ich frage mich nur, warum nicht gleich auf herkömmlichem Weg differenzieren."

Das verbietet dir doch keiner. Du kannst auch nachträglich noch aus dem Nenner deiner Ableitung die Wurzel aus 2x ziehen und die verbleibende Wurzel so wie eingangs vereinfachen.
Ich bezweifle aber, dass du anschließend noch so einfach erkennst, dass sich der Bruch dann mit (x-1) kürzen lässt...

couman990 aktiv_icon

20:37 Uhr, 09.11.2016

Wenn ich herkömmlich differenziere, erhalte ich das von atlantik. Anschließend muss ich unten Wurzel aus

2 x

ausklammern und kann dann die binom formel anwenden. Nur dann stehe ich grad auf dem schlauch.

couman990 aktiv_icon

21:12 Uhr, 09.11.2016

Sprich wie kann ich es mit dem zähler kürzen ?

abakus

21:46 Uhr, 09.11.2016

Mitgegangen, Mitgehangen.
Atlantik wollte nicht vorher vereinfachen, jetzt muss er (und du als sein follower) mit der unübersichtlichen Ableitung leben.

Jetzt mal nur für dich: Wenn im Nenner (x-1) entsteht und ich schon sage, dass man den Bruch mit (x-1) kürzen kann, so bedeutet das doch nur, dass im Zähler wohl auch der Faktor (x-1) stecken muss, oder?
Ich wünsche dir für den Zähler eine fröhliche Polynomdivision...

couman990 aktiv_icon

22:10 Uhr, 09.11.2016

Achso mit Polynomdivision. Vielen Dank !

Hubs15 aktiv_icon

16:25 Uhr, 10.11.2016

Deine Lösung sollte

\frac{3 x - 1}{{(2 x)}^{0,5}}

heißen. Bei Dir steht im Zähler

3 x - 2

Atlantik aktiv_icon

19:19 Uhr, 10.11.2016

Ich kehre mal zu meiner Antwort am

09.11.2016

19 : 49

Uhr zurück.

\sqrt{2 x} \cdot \sqrt{{(x - 1)}^{2}} = \sqrt{2 x} \cdot | x - 1 |

und nicht

\sqrt{2 x} \cdot (x - 1)

Wolfram zur Hilfe:

[\sqrt{2 x} \cdot | x - 1 |

]

= \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\sqrt{2 x} \cdot | x - 1 |}

Somit kürzt Wolfram nicht mit

(x - 1)

Die Excelberechnung gibt nun auch die richtigen Steigungswerte wieder.

Mit meiner anfänglichen Ableitung erspart man sich die Probleme mit der sonst
notwendigen Betragsableitung.

mfG

Atlantik

E x c e l t a b e l l e :

G r a p h e n : \sqrt{2 x} \cdot | x - 1 |

und

\sqrt{2 x} \cdot (x - 1)

Roman-22

00:33 Uhr, 11.11.2016

Atlantik hat hier auf etwas sehr Wesentliches hingewiesen, nämlich, dass

\sqrt{a^{2}} \neq a

ist, sondern

\sqrt{a^{2}} = | a |

oder auch

\sqrt{a^{2}} = s i g n (a) \cdot a

.

Das scheint auch der "Erfinder" dieser Aufgabe nicht beachtet zu haben, wenn er meint, die Ableitungsfunktion wäre schlicht

f' (x) = \frac{3 x - 1}{{(2 x)}^{0,5}},

denn das ist nur für

x > 1

gültig!

Der Definitionsbereich ist aber

D = ℝ^{+},

also dürfen auch Werte

x < 1

mitspielen.

Richtig wäre hier also entweder

f^{'} (x) = \frac{(3 x - 1) \cdot (x - 1)}{\sqrt{2 \cdot x \cdot {(x - 1)}^{2}}}

(wobei man Zähler und Nenner nach Belieben auch noch ausmultiplizieren kann)

oder aber man kürzt und handelt sich die Fallunterscheidung oder die Signumfunktion ein

f^{'} (x) = (\begin{matrix} \frac{1 - 3 x}{\sqrt{2 x}} f u e r 0 < x < 1 \\ u n b e s t i m m t f u e r x = 1 \\ \frac{3 x - 1}{\sqrt{2 x}} f u e r x > 1 \end{matrix})

oder kurz

f^{'} (x) = s i g n (x - 1) \cdot \frac{3 x - 1}{\sqrt{2 x}}

Im Anhang der Plot der Funktion und darunter ihre unstetige Ableitungsfunktion.

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