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Ableitung e-Funktion mit 3 Faktoren

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung, e-Funktion

Nihilist aktiv_icon

13:36 Uhr, 14.05.2009

Also...

Ich soll da eine e-Funktion ableiten. So sehr große Schwierigkeiten habe ich dabei nicht. Das heißt, ich habe sie nicht wenn es sich um ein bis zwei Faktoren handelt.

Nun soll ich aber die Funktion

f (t) =

-0.2*(t²-40t+200)*e^(-0.1t).
ableiten.

Dass ich theoretisch Produkt- und Kettenregel anweden muss, denk ich mir mal. In der Praxis kam ich aber bisher auf keine schlüssigen Ergebnisse... Bitte um Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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13:39 Uhr, 14.05.2009

Die -0.2 bleibt als Faktor stehen und für den Rest nimmst du die Produktregel. u'v + uv'

Nihilist aktiv_icon

13:56 Uhr, 14.05.2009

Habe es mal so versucht. Komme allerding immer auf wahnsinnig große Klammern, die nicht in die richtige Richtung führen.

Ich muss auf

f' (x) =

0,02t²*e^-0.1t
als Ableitung der Funktion kommen. Könntest du (oder wer auch immer) das ganze noch etwas ausführen?

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14:06 Uhr, 14.05.2009

Ich glaube du machst es dir schwerer als es eigentlich ist.

f(t) = -0.2*

(t^{2} - 40 t + 200) * e^{- 0.1 t}

u =

t^{2} - 40 t + 200

v =

e^{- 0.1 t}

Die Regel ist ja u'v + uv
f'(t) = -0.2*(2t-40)*

e^{- 0.1 t}

-0.2*

(t^{2} - 40 t + 200) * (- 0.1 * e^{- 0.1 t}

)

Jetzt klammern wir den e-term und die -0.2 aus.

f'(t) = -0.2*

e^{- 0.1 t} * (2 t - 40 - 0.1 t^{2} + 4 t - 20)

= -0.2*

e^{- 0.1 t} * (- 0.1 t^{2} + 6 t - 60)

e^{- 0.1 t} * (0.02 t^{2} - 1.2 t + 12)

Woher hast du deine Ableitung?

Nihilist aktiv_icon

14:17 Uhr, 14.05.2009

Entschuldigung, war grade mit den Zahlen auf dem Arbeitsblatt durcheinander gekommen...

Gegeben wurde die Funktion f(t)=0.02t²*e^-(0.1t)

In Teilaufgabe

c)

ist nun nachweisen, dass F(t)=-0.2*(t²+20t+200)*e^(-0.1t) Stammfunktion von

f (x)

ist. Bin da grad ein wenig mit den Zahlen durcheinander gekommen.

Deinen Lösungsweg kann ich aber nachvollziehen, danke dafür. Mein Fehler lag darin, dass ich die

0.2

nur mit dem ersten Teil der Produktregel multipliziert hatte. Allerdings komme ich auch mit den "richtigen" Zahlen nicht aufs gewünschte Ergebnis...

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14:21 Uhr, 14.05.2009

Würde jetzt sagen das es nicht die Stammfunktion von deiner Ausgangsfunktion ist. Kann bei mir keinen Fehler erkennen. Hab gerade auch nicht die Möglichkeit das am Computer nachzurechnen.

Nihilist aktiv_icon

14:25 Uhr, 14.05.2009

Dein Fehler ist auch mein Fehler;-)

Du gingst von der Funktion

f (t) = - 0.2 \cdot (t 2 - 40 t + 200) \cdot e - 0.1 t

aus, die ich aber falsch abtippte und eigentlich F(t)=-0.2*(t²+20t+200)*e^(-0.1t) lauten muss.

Die Aufgabe stammt aus der NRW-Abi-Aufgabe

2007

. Modelllösungen zeigen, dass

F (t)

Stammfunktion von

f (t)

ist.

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14:30 Uhr, 14.05.2009

Achso. Dann rechne ich nochmal. :-)

F'(t) = -0.2*

((2 t + 20) * e^{- 0.1 t} + (t^{2} + 20 t + 200) * (- 0.1 * e^{- 0.1 t}))

= -0.2*

e^{- 0.1 t} (2 t + 20 - 0.1 t^{2} - 2 t - 20)

F'(t) = -0.2*

e^{- 0.1 t} * (- 0.1 t^{2}

) = 0.02

t^{2} * e^{- 0.1 t}

So dann stimmts.

Nihilist aktiv_icon

14:31 Uhr, 14.05.2009

Yay, war auch kurz vorher dank deiner oberen Rechnung aufs Ergebnis gekommen. Herzlichen Dank für deine Hilfe :-)

StuEv aktiv_icon

14:35 Uhr, 14.05.2009

f (x) = - 0,2 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} \cdot (t^{2} + 20 t + 200)

Produktregel:

f' (x) = 0,02 e^{- 0,1 t} \cdot (t^{2} + 20 t + 200) - 0,2 e^{- 0,1 t} \cdot (2 t + 20)

ausmultiplizieren:

f' (x) = 0,02 \cdot t^{2} e^{- 0,1 t} + 0,4 e^{- 0,1 t} + 4 e^{- 0,1 t} - 0,4 e^{- 0,1 t} - 4 e^{- 0,1 t}

Kürzen:

f' (x) = 0,02 t^{2} e^{- 0,1 t}

also

w . A

.

Gruß StuEv

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