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Ableitung eines Bruchs - kürzen möglich?

Schüler

Tags: Ableitung, Ableitungen Funktionen, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln, Bruch

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21:40 Uhr, 13.09.2015

Guten Abend!

Ich muss die 1. und 2. Ableitung von

\frac{16}{x^{2} + 4}

bilden.

Folgendes habe ich als Ergebnis:

f´(x)

= - 32 \cdot \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}

f´´(x)

= \frac{96 x^{4} + 256 x^{2} - 512}{{(x^{2} + 4)}^{4}}

Bei der ersten Ableitung bin ich mir sicher, dass sie passt - war ja auch easy. Aber bei der 2. Ableitung frage ich mich, ob sie richtig ist und man sie weiter vereinfachen könnte. Eigentlich kann ich ja nur die

32

ausklammern, was mir jetzt zwecks kürzen nichts bringen würde.

Danke für eure Unterstützung! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Respon

21:54 Uhr, 13.09.2015

f'' (x) = \frac{32 \cdot (3 \cdot x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}

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22:05 Uhr, 13.09.2015

Hey Respon,

kannst du mir bitte erklären, wie genau du das gekürzt hast?:-) Ich komme leider nur bis

f'' (x) = \frac{32 (3 x^{4} + 8 x^{2} - 16)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}

gedanklich mit. Hast du da eine Polynomdivision durchgeführt? Oder erkennst du sowas auch so?

Respon

22:10 Uhr, 13.09.2015

f' (x) = - 32 \cdot \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}

Für

f'' (x)

nochmals die Quotientenregel anwenden, Faktor

- 32

ausklammern.

f'' (x) = - 32 \cdot [\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \cdot 2 \cdot (x^{2} + 4) \cdot 2 \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}] = - 32 \cdot [\frac{(x^{2} + 4) - 4 \cdot x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}] = . .

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22:29 Uhr, 13.09.2015

Sorry, wenn ich nochmal nachhaken muss. Aber ich verstehe nicht, wieso man die

- 32

einfach ausklammern darf?

Respon

22:37 Uhr, 13.09.2015

Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.

f (x) = a \cdot g (x)

f' (x) = a \cdot g' (x)

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22:52 Uhr, 13.09.2015

Alles klar! Du hast mir echt weitergeholfen - THX!!!

MK1947 aktiv_icon

04:57 Uhr, 14.09.2015

Guten Morgen HiHat,

ich komme zu einem anderen Ergebnis als Respon. Hier mein Lösungsvorschlag:

Vorgelegt ist

f (x) = \frac{16}{x^{2} + 4} = 16 (x^{2} + 4)^{- 2}

. Jetzt die Kettenregel anwenden; es resultiert:

\frac{d f (x)}{d x} = - 32 (x^{2} + 4) (2 x) = - 64 x (x^{2} + 4) = - 64 x^{3} - 256 x

. Wenn man die 1. Ableitung so aufschreibt, dann

ist die 2. Ableitung volltrivial:

\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} = - 192 x^{2} - 256 = - 64 (3 x^{2} + 4)

. Fertig!

Respon

07:12 Uhr, 14.09.2015

Das ist nicht korrekt.

f (x) = \frac{16}{x^{2} + 4} = 16 \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 1}

f' (x) = 16 \cdot (- 1) \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 2} \cdot 2 \cdot x = - \frac{32 \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}

Womit wir auch mit dieser Methode wieder bei obigen Ergebnis gelandet sind.

Respon

07:45 Uhr, 14.09.2015

Respektive die zweite Ableitung mit negativen Exponenten und Produktregel.

f' (x) = - 32 \cdot x \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 2}

f'' (x) = - 32 \cdot [1 \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 2} + x \cdot (- 2) \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 3} \cdot 2 \cdot x]

{(x^{2} + 4)}^{- 3}

herausheben

f'' (x) = - 32 \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 3} \cdot [(x^{2} + 4) - 4 \cdot x^{2}] = - 32 \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 3} \cdot (- 3 \cdot x^{2} + 4) = \frac{32 \cdot (3 \cdot x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}

Also ebenfalls das obige Ergebnis.

Respon

08:07 Uhr, 14.09.2015

Da in den meisten Fällen ein Bruch als Produkt geschrieben werden kann und umgekehrt, kann man Quotientenregel und Produktregel alternativ verwenden. Allerdings läßt sich aus der Struktur der Ausgangsfunktion oft die "bessere" Methode ablesen.

MK1947 aktiv_icon

09:09 Uhr, 14.09.2015

Oh, was für eine Eselei! Respon hat selbstverständlich recht und seine Ergebnisse für die erste wie für die zweite Ableitung von

f (x) = \frac{16}{x^{2} + 4}

sind ebenfalls korrekt.

Ich habe meine Ableitungen mit dem Fehler begonnen, mit

f (x) = 16 (x^{2} + 4)^{- 2}

statt mit

f (x) = 16 (x^{2} + 40)^{- 1}

weiter zu arbeiten. Dann kam gleich noch ein Fehler! Da sollte sich nicht wiederholen...

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