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Ableitungen Wurzel und ln(x)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Logarithmus, Wurzel

zzzDude aktiv_icon

16:54 Uhr, 11.12.2010

Ich habe die Funktion:

f : R^{+} \to R

x \mapsto \sqrt{x} \cdot ln (x)

und möchte die ersten drei Ableitungen bilden.

f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot ln (x) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}

f'' (x) = (- \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}} \cdot ln (x) + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x}) + (\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x} + \sqrt{x} \cdot (- \frac{1}{x^{2}}))

= - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}} \cdot ln (x) + \frac{2}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{x} + \sqrt{x} \cdot (- \frac{1}{x^{2}})

Ab hier komm ich nicht mehr weiter. Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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ogeca aktiv_icon

18:05 Uhr, 11.12.2010

Erste Ableitung ist korrekt und der erste Schritt bei der zweite auch.

Im 2tem Schritt hast du nicht richtig zusammengefasst:

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x}

= 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x}

Jetzt musst du die einzelnen Teile so weit es geht zusammenfassen.
Der erste Teil lässt sich nicht weiter vereinfachen.
Der beim 2tem Teil lässt sich im Nenner

\sqrt{x}

und

x

zusammenfassen

\to \sqrt{x} \cdot x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x = x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^{3}}

Im dritten Teil lässt sich auch

x

weiter zusammenfassen.

\sqrt{x} \cdot (- \frac{1}{x^{2}}) = - x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- 2} = - \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}

Nun lassen sich die 3Teile gut zu einem Bruch zusammenfassen

zzzDude aktiv_icon

19:32 Uhr, 11.12.2010

f'' (x)

= - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}} \cdot ln (x) + 2 \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x} + \sqrt{x} \cdot (- \frac{1}{x^{2}})

= - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}} \cdot ln (x) + 2 \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{3}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}

= - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}} \cdot ln (x) + \frac{4}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}} - \frac{4}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}}

= - \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}} \cdot ln (x)

= - \frac{ln (x)}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}}

f''' (x)

= \frac{- \frac{1}{x} \cdot (4 \cdot \sqrt{x^{3}}) - ln (x) \cdot (\sqrt{x^{3}} + 12 \frac{\sqrt{x}}{2})}{{(4 \cdot \sqrt{x^{3}})}^{2}}

= \frac{- \frac{1}{x} - ln (x) \cdot (\sqrt{x^{3}} + 12 \frac{\sqrt{x}}{2})}{4 \cdot \sqrt{x^{3}}}

Dieses Gekürze fällt mir, wie ich gerade feststellen muss, relativ schwer...

ogeca aktiv_icon

19:59 Uhr, 11.12.2010

2te Ableitung ist richtig

Nun zu 3ter:

1ter Schritt:
- Zähler:

\to

erste Teil ist richtig, zweiter Teil nicht ganz:

\to

erstens muss vor

ln (x)

ein PLUS stehen, Minus mal Minus Plus ergibt.

\to

Zweitens verstehe ich nicht gant wie du es abgeleitest hast

v (x) = 4 \cdot \sqrt{x^{3}} = 4 \cdot x^{\frac{3}{2}}

v’(x)=

4 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = 6 \cdot \sqrt{x}

- Nenner ist richtig

2ter Schritt
Du darfst nur kürzen wenn oben und unten im Bruch jeweils ein Produkt ist. Das ist im Zähler nicht der Fall, also kannst du nicht einfach kürzen.

Da sag ich nur üben üben üben ;-) Ja im ernst, je mehr Aufgaben du dieser Art rechnest, ableitest, zusammenfasst, kürzt, was auch immer, desto einfacher wird es dir fallen.

zzzDude aktiv_icon

20:37 Uhr, 11.12.2010

Da hast du Recht, das war Quatsch. Ich weiß gerade selbst nicht mehr, wie ich dazu komme. Die dritte Ableitung sieht bei mir jetzt so aus. Allerdings weiß ich echt nicht, was ich kürzen oder zusammenfassen könnte.

\frac{(- \frac{1}{x} \cdot 4 \sqrt{x^{3}}) + (ln (x) \cdot 6 \sqrt{x})}{{(4 \sqrt{x^{3}})}^{2}}

ogeca aktiv_icon

20:52 Uhr, 11.12.2010

\frac{- x^{- 1} \cdot 4 \cdot x^{\frac{3}{2}} + ln (x) \cdot 6 \sqrt{x}}{16 \cdot x^{3}}

= \frac{- 4 \cdot \sqrt{x} + 6 \cdot ln (x) \cdot \sqrt{x}}{16 \cdot x^{3}}

= \frac{2 \sqrt{x} \cdot (- 2 + 3 \cdot ln (x))}{16 \cdot x^{3}}

= \frac{\sqrt{x} \cdot (- 2 + 3 \cdot ln (x))}{8 \cdot x^{3}}

= \frac{- 2 + 3 \cdot ln (x)}{8 \cdot \sqrt{x^{5}}}

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