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Ableitungen von Klammern mit Wurzel / Brüchen

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Bruch, Klammer, Quotientenregel, Wurzel

Chisu aktiv_icon

12:31 Uhr, 27.05.2010

Hallo,
Ich habe ein Problem und zwar schreibe ich am Dienstag nächster Woche meine Abschlussprüfung und dafür haben wir Zettel zum lernen erhalten. Bei einer Aufgabe mit 3 Rechnungen komme ich nicht weiter.
Wir sollen hierbei die 1. und 2. Ableitung bilden.

1. Rechnung :

f (x) =

(x²-2)√x
Ich komme soweit :

f' (x) =

(x²-2) 1/2√x

2. Rechnung :

f (x) =

x^5(x²-4x)
Ich komme soweit :

f' (x) = x 7 - 4 x^{6}

f'' (x) = 7 x^{6} - 24 x^{5}

Ob das Ergebniss stimmt weiss ich allerdings nicht.

3. Rechnung :

f (x) =

(x²

- 2 x + 5)

\ 4x³

Ich komme soweit :

f' (x) = (- 4 x^{4} +

16x³ - 60x² ) \(4x³)²

Hierbei weiss ich allerdings nicht ob ich unter dem Bruchstrich die Klammer lösen soll ( Kettenregel ) oder ob die Kettenregel erst in der 2. Ableitung angewendet werden soll.

Um Hilfe wäre ich sehr Dankbar.

MfG
Nico

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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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schumja aktiv_icon

12:41 Uhr, 27.05.2010

Ich glaube wichtig für dich ist, dass du dir nochmal anguckst, wie man Produkte ableitet. Die Formel dafür lautet:

f (x) = u (x) \cdot v (x) \Rightarrow f ʹ (x) = u ʹ (x) v (x) + u (x) v ʹ (x)

Und dann schau dir nochmal deine Rechnungen an und schreibe mal, was bei dir u und v sind.

Edit: und genauso wie es bei der Ableitung bei Brüchen ist. Und dann schreib die Rechnungen mal ausführlich hin.

Chisu aktiv_icon

13:00 Uhr, 27.05.2010

Ah okay. Schonmal einen Schritt weiter.

Bei Rechnung 1 wäre das

f (x) =

(x²-2)√x

\to u (x) =

x²-2

& v (x) =

√x

Bei Rechnung 2 wäre das

f (x) = x^{5}

(x²-4x)

\to u (x) = x^{5} & v (x) =

(x²-4x)

Somit käme man bei Rechnung 1 auf :

f' (x) = (2 x) \cdot

(√x)

+

(x²-2)

\cdot ((\frac{1}{2})

√x)

f' (x) = (

√2x²

) +

(x+√x²-1-√2x)

< -

Wobei ich mir bei dem zusammenfassen der √ nicht sicher bin.

Und bei Rechnung 2 auf :

f' (x) = (5 x^{4}) \cdot

(x²-4x)

+ (x^{5}) \cdot (2 x - 4)

f' (x) = (5 x^{6} - 9 x^{5}) + (2 x^{6} - 4 x^{5})

f' (x) = 7 x^{6} - 13 x^{5}

Somit ergibt sich dann :

f'' (x) = 42 x^{5} - 65 x^{4}

Und bei der Rechnung 3 finde ich zur Zeit keinen Fehler.

So jedenfalls denk ich mir das.

schumja aktiv_icon

13:16 Uhr, 27.05.2010

Rechnung 2 sieht gut aus.

Bei Rechnung 1 hast du ja

v = \sqrt{x}

das kannst du auch schreiben als

x^{\frac{1}{2}}

und wenn du dass dann ableitest bekommst du

(x^{\frac{1}{2}}) ʹ = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}

schumja aktiv_icon

13:20 Uhr, 27.05.2010

Bei Rechnung 3 brauchst du ja folgende Formel:

f (x) = \frac{u}{v} \Rightarrow f ʹ (x) = \frac{u ʹ v + u v ʹ}{v^{2}}

Und dann rechne das nochmal nach.

geoty aktiv_icon

13:24 Uhr, 27.05.2010

Hi!

Ich fang´ mal von hinten an:

Rechnung 2 stimmt soweit, nur musst du noch einen Flüchtigkeitsfehler korrigieren:
Von der 1. in die 2. Zeile rechnest du

4 \cdot 5 = 9,

sind ja eher so

20

;-)

Zur Rechnung

1 :

Die Produktregel wendest du richtig an und die Ableitung von

u (x)

ist auch richtig. Deine zweifel mit der Wurzel sind allerdings berechtigt:

\sqrt{x}

abgeleitet ist nicht

\frac{1}{2} \sqrt{x} .

Überlege wie du

\sqrt{x}

anders schreiben kannst... (Tipp: Potenzen)

Und wenn du

2 x

in die Wurzel ziehen willst, überlege dir was unter einer Wurzel stehen muss, damit

2 x

herauskommt und multipliziere das dann.

2 x \cdot \sqrt{x} \neq \sqrt{2 x^{2}} = x \cdot \sqrt{2}

Gruß geoty

Offensichtlich bin ich heut zu langsam ;-)

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