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Ableitungen von e-Funktionen

Schüler Kolleg, 10. Klassenstufe

Tags: Ableitung, e-Funktion

Nightdragon aktiv_icon

17:56 Uhr, 03.12.2011

Hallo,

ich stecke mitten in der Klausurvorbereitung (ich mache gerade die Prüfungsvorbereitung auf S. $34,35$ im Lambacher-Schweizer Qualifikationsphase NRW, vllt hat jmd das schon gemacht?)und es sind paar Fragen aufgetaucht:

1. Wie untersucht man das Monotonieverhalten einer Funktion $(z . B$ . aus der Aufgabe: $f (x) = \frac{4}{x^{2} - 4}$

2. Man hat die Funktion $f (x) = e^{x};$ der Graph dieser wird am Ursprung gespiegelt. Wie lautet der zugehörige Funktionsterm. Ich habe jetzt mithilfe von Geogebra herausgefunden, dass es $f (x) = - e^{- x}$ ist, aber wie kommt man rechnerisch darauf?

3. Eine Textaufgabe:

In der Pharmakokinetik wird die Konzentration $K$ eines Mediakments im Blut in Abhängigkeit von der Zeit nach der Einnahme des Medikaments durch die sogenannte Bateman-Funktion $K$ mit $K (t) = \frac{a \cdot c}{a - b} \cdot (e^{- b \cdot t} - e^{- a \cdot t})$ beschrieben $(t :$ Stunden nach Einnahme, $K (t)$ in mg/l)
Für ein spezielles Medikament ist $c = 18,75 a = 0,8$ und $b = 0,2$

$a)$ Berechnen Sie, wann die Konzentration im Blut am höchsten ist.
Mein Ansatz: Ich muss das Maximum berechnen. Dafür bilde ich die Ableitung von

$K (t) = \frac{0,8 \cdot 18,75}{0,8 - 0,2} \cdot (e^{- 0,2 \cdot t} - e^{0,8 \cdot t})$
$K (t) = 25 \cdot e^{- 0,2 \cdot t} - 25 \cdot e^{- 0,8 \cdot t}$

$K' (t) = - 5 \cdot e^{- 0,2 \cdot t} + 20 \cdot e^{- 0,8 \cdot t}$ ist das richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

18:08 Uhr, 03.12.2011

1. Monotonieverhalten: Bestimme die Extremstellen und das Krümmungsverhalten.

2. Die Spiegelung an der y-Achse wäre $g (x) = f (- x)$ und die Spiegelung am Ursprung wäre $g (x) = - f (- x)$

3. Diese Ableitung hast Du korrekt gerechnet. Nun müsstest Du noch die Ableitung Null setzen und sicherstellen, dass es sich dabei um ein Maximum handelt $(f'' < 0)$

Nightdragon aktiv_icon

19:00 Uhr, 03.12.2011

3. okay hat sich erledigt, ich hab meinen Fehler beim nächsten Schritt schon gefunden. $: 0,6$ ist nicht $\cdot (\frac{3}{5})$ sondern $\cdot (\frac{5}{3})$

jetzt hab ich bei der 2. teilaufgabe jedoch ein problem: Das Medikament wirkt, wenn die Konzentration im BLut über 7mg/l liegt. berechnen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt:

Mein ansatz war $K (t) < 7,$ aber dann krieg ich ja nur ne Zahl raus und kein Intervall.

Nightdragon aktiv_icon

19:17 Uhr, 03.12.2011

Ich hab noch ein problem beim Lösen einer Gleichung:

$e^{x} = 3 + (\frac{10}{e^{x}}) | ln$
$ln (e^{x}) = ln (3) + ln (\frac{10}{e^{x}})$
$ln (e^{x}) = ln (3) + ln (10) - ln (e^{x})$
$x = ln (3) + ln (10) - x | + x$
$2 x = ln (3) + ln (10) | : 2$
$x = ln (3 \cdot 10) \cdot \frac{1}{2}$

in den Lösungen steht, es soll $x = ln (5)$ sein

vulpi aktiv_icon

20:32 Uhr, 03.12.2011

Hallo, dein erster Schritt ist ein fataler Fehler.
Summen kann man so nicht logarithmieren.
$ln (a + b) = ln a + ln b |$ wird gern mal genommen, ist leider verkehrt :-)

Die Lösung bekommst du so:

Die Gleichung mit $e^{x}$ multiplizieren, damit das $e^{x}$ aus dem Nenner verschwindet.
Das ergibt eine quadratische Gleichung in $e^{x},$ die du mit pq-Regel löst.
Daran denken, dass negative Lösungen keinen Sinn machen, da $e^{x} < 0$ nicht lösbar ist ( $i n ℝ)$

Du kannst auch erst $z := e^{x}$ substituieren, falls dich das $e^{x}$ beim Umformen stört, und dann die positive Lösung $z_{0}$ wieder resubstituieren.

lg

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