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Ableitungen von e-Funktionen mittels der h-Methode

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, e-Funktion, h-methode, klasse 12, Leistungskurs, Mathematik

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21:21 Uhr, 18.08.2009

Hallo, habe da ein Problem und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Wir fangen jetzt anscheinend in Mathe mit e-Funktionen an (heute die erste Stunde im Leistungskurs) und müssen das hier mittels der h-Methode ableiten:

2

{

hoch}x+h - 2{hoch}x

__{_}__{_}__{_}__{_}_

h

Ableiten mit der h-methode fällt mir bei ganzrationalen Gleichungen, die wir in der

11

durchgenommen haben überhaupt nicht schwer, doch hier weiß ich einfach nicht weiter. wir haben noch nichts in der stunde durchgenommen das mir helfen könnte es ist einfach etwas was wir selbst ausprobieren sollten. Doch ich würde morgen sehr gerne das Ergebnis mit euch erarbeitet haben, damit ich im Leistungskurs was gutes zeigen kann.

Ich hoffe ihr könnt helfen.

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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f' (x)

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lepton

22:03 Uhr, 18.08.2009

Hallo, was soll den

- - - - - -

? Heisst das etwa, dass beide Terme

h

als gemeinsamen Divisor haben?

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22:08 Uhr, 18.08.2009

ja habe eigentlich auch einen durchgehenden bruchstrich gezeichnet aber naja ist wohl irgendwas schief gelaufen.

Kannst du mir helfen?

lepton

22:12 Uhr, 18.08.2009

Wenn du mathematische Zeichen darstellen willst, solltest du dir zunächst einmal "MathPlayer" runterladen. Schaue unter Hilfe nach, ansonsten kannst du ihndir direkt kostenlos runterladen.

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22:13 Uhr, 18.08.2009

hab ich schon hatte grad nur nicht firefox benutzt deswegen ging das nicht.
Kannst du mir nun helfen?
Oder irgendjemand?

lepton

22:13 Uhr, 18.08.2009

Ich bin gerade dabei, ok!

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22:25 Uhr, 18.08.2009

Naja es handelt sich ja offenbar um die Funktion f(x)=2^x.
Ich weiss nicht warum sich lepton so anstellt...

@ xBenx

Du könntest 2^x ausklammern und dann den Term (2^h-1)/h separat für h gegen null streben lassen falls ihr schon die Regel von L'Hosptial kennt.

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22:29 Uhr, 18.08.2009

Also BjBot, vielen dank erstmal, die erste vernünftige Antwort.

ja es handelt sich um

2^{x}

ichh weiß nicht wie du von meinem term genau auf meinem gekommen bist bzw. wie du das ausgeklammert hast? Könntest du vielleicht die schritte genauer beschreiben?

aber wenn man jetzt

\frac{2^{h} - 1}{h}

hat und

h

gegen null laufen lässt geht das hier nicht da

h

noch im nenner steht und mann nicht durch null teilen kann.

man muss irgendwie auf etwas kommen das etwa so aussieht

h \frac{(... ... .)}{h}

dann kann man

h

wegkürzen und übrig bleibt nur ein term.

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22:33 Uhr, 18.08.2009

Irgendwie einen Faktor h im Zähler zu bekommen das wird hier nicht gelingen, so wie vielleicht den ganzrationalen Sachen.
Und wie gesagt hatte ich ja gefragt ob ihr schon L'Hospital hattet, denn damit kann man diesen Grenzwert dann berechnen, da Zähler und Nenner gegen null streben.

Auf wiki ist auch eine Herleitung:

http//de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Motivation

Oder aber ein Video dazu hier:

http//de.sevenload.com/sendungen/Nachhilfe-2-0/folgen/hcEaMm6-Ableitung-Exponentialfunktion-und-Herleitung-der-Zahl-e

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22:39 Uhr, 18.08.2009

also der Begriff l'hospital Methode sagt mir jetzt erst einmal gar nichts.
wie gesagt hatte bist jetzt nur einmal mathe, da die schule bei mir erst gestern begonnen hat.

ich schau mir mal wiki und das video an.

ich kann mir nicht vorstellen wie das gehen soll wenn ich zähler und nenner gegen null laufen lasse

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22:42 Uhr, 18.08.2009

aber erklär mir bite nochmal wie du auf

\frac{2^{h} - 1}{h}

gekommen bist weil soweit ich das verstehe muss ich im nächsten schritt logarithmen anwenden

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22:46 Uhr, 18.08.2009

Schau das Video an, dann siehst du es.
Wie gesagt habe ich nur 2^x ausgeklammert.
Der Faktor 2^x bleibt natürlich noch bestehen, aber da er unabhängig von h ist wird sich bei der Betrachtung für h gegen null da ja nichts ändern.

Welche Mittel ihr jetzt benutzen dürft kann ich dir leider nicht sagen, einen Vorschlag habe ich gemacht und Alternativen findest du in den verlinkten Seiten.

lepton

23:07 Uhr, 18.08.2009

Also, du bildest vorher den Differentialquotienten und setzt den Term

2^{x + h} = f (x + h)

und den Term

2^{x} = f (x)

. Das Ganze dient dazu, um eine bessere Näherung zu erhalten und dann mit Grenzwert(lim) vorgehen

\Rightarrow

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{2^{x + h} - 2^{x}}{h}

= lim_{h \to 0} (\frac{2^{h} - 1}{h} \cdot 2^{x})

= (lim_{h \to 0} \frac{2^{h} - 1}{h}) \cdot 2^{x}

\approx 0.693 \cdot 2^{x}

lepton

23:12 Uhr, 18.08.2009

Der Witz ist dabei, deine Ausgangsfkt. ist

f (x) = 2^{x} \Rightarrow (2^{x})' \approx 0.693 \cdot 2^{x}

Ich denke das dürfte reichen!!

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