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Aufgaben "Ganzrationale Funktionen"

Schüler Berufskolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Ganzrationale Funktionen, Parabel

Scarface aktiv_icon

20:20 Uhr, 10.04.2011

Hi Leute, da mir letztesmal ganz gut geholfen wurde, will ich hier mein mathematisches Wissen wieder erweitern :-D) .
Wir werden am

15

. eine Mathearbeit schreiben, also habe ich mir vorgenommen mehrere Aufgaben zu machen. Da wir bis dahin kein Mathe haben und ich nicht weiß ob ich diese Aufgaben richtig mache oder überhaupt weiter komme, bin ich froh dass man mir hier helfen kann :-D) .

Ich werde dann ein paar Aufgaben machen, bis ich nichtmehr weiterkomme. Ich hoffe ihr könnt mir dann sagen, ob ich diese Aufgaben richtig gemacht habe oder bzw mir weiterhelfen.

So .. jetzt kommen die Aufgaben. (Ich übernehme die Nummerierung der Aufgaben aus dem Buch, nicht wundern wenn welche fehlen.)

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2. Wie entsteht die Parabel

P

aus der Normalparabel?

a) P : y = 0,5 x^{2} - 2,5

b) P : y = x^{2} - 4 x + 4

c) P : y = - 2 x^{2}

(Normalparabel

= a x^{2} + b x + c)

Bei dieser Aufgabe verstehe ich die Frage nicht, was muss man hier machen?

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3. Gegeben ist die Funktion

f

. Wählen Sie für den Parameter verschiedene Werte und zeichnen Sie die zugehörige Parabel in ein Koordinatensystem.
Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen Graph und Funktionsterm.

a) f (x) = 0,5 x^{2} + c

b) f (x) = a x^{2}

c) f (x) = {(x + d)}^{2}

Nehmen wir mal an, ich habe diese gezeichnet. Wie soll ich den Zusammenhang beschreiben? Da bei

a)

der koeffizient

a 0,5

ist, ist die Parabel breiter, muss ich sowas schreiben?

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K

ist der Graph der Funktion

f

. Berechnen Sie ohne ein grafischen Taschenrechner die Schnittpunkte mit der x-Achse. Bestimmen Sie den Scheitel von K.

a) f (x) = 2 - x^{2}

(koeffizienten

a = - 1 | b = 0 | c = 2)

Oh man, kriege die Formel die ich im Formeleditor mache, nicht hier rein. Naja die Diskriminante ist bei mir

0^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2 = 8

. Schnittpunkte mit der x-Achse =

x 1 = 1,41 | x 2 = - 1,42

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e) f (x) = - \frac{2}{3} x^{2} + x

(koeffizienten

a = - \frac{2}{3} | b = 1 | c = 0)

Diskriminante

= 1^{2} - 4 \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot 0 = 1

x 1 = 0

x 2 = - 1,5

Hmm bei mir kommt

- 1,5

raus. Richtig ist aber

1,5 .

. aber

- \frac{2}{3} \cdot 2 = - \frac{4}{3}

und

\frac{2}{- \frac{4}{3}} = - 1,5

. Was ist da falsch?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

f) f (x) = 2 - {(x + 1)}^{2}

(koeffizienten

a = - 1 | b = 2 | c = 3

3 - x^{2} + 2 x

Diskriminante

= 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3 = 16

x 1 = 2

x 2 = 6

Hmm bei mir zeigt es mit dem graphischen Taschenrechner etwas anderes an. Habe ich diese Aufgabe falsch gerechnet?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

So das war's für heute glaube ich. Ich hoffe ihr könnt mir die richtigen Aufgaben bestätigen und die falschen mir erklären.

Wenn mir jemand auch noch sagen könnte, wie ich die Formeln hier reinkopieren kann (Wurzel, und auch

z . B

. die

a - b - c

Formel) wäre es sehr Hilfreich. So ist es ziemlich unübersichtlich und ihr könnt bestimmt nicht nachvollziehen wie ich gerechnet habe.

Danke schonmal im Vorraus

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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DerAlbert aktiv_icon

13:38 Uhr, 11.04.2011

hi, so habe mal schnell durchgeschaut und einige fehler habe ich bemerkt.

also zu 3:
ich glaube das ist hier anders zu verstehen. du musst dir mehrere parabeln aufmalen und dann argumentieren, wie sich die parabel bei den verschiedenen variablenwerten ändert, dh. wie verhält sich die parabel bei a) wenn du für c=1, c=2, c=-1 usw.
analog die anderen beiden teilaufgaben.

zu 4:
a) stimmt. besser ist aber wenn du hinschreibst

x_{1} = \sqrt{2} u n d x_{2} = - \sqrt{2}

aber das was du hast ist auch richtig

e) schaue dir in deiner letzten zeile den wert an. wie ist denn die division

- / -

definiert. wenndu das beachtest dann kommst du auf 1,5. denke mal nur füchtigkeitsfehler

f) deine koeffizienten b und c stimmen nicht. du quadrierst aus und wenest dann das minus nur auf den term

x^{2}

an. WARUM? du musst es auf alles anwenden, also

2 - (x + 1)^{2} \overset{}{\Leftrightarrow} 2 - (x^{2} + 2 x + 1) \overset{}{\Leftrightarrow} 2 - x^{2} - 2 x - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} - x^{2} - 2 x + 1

so und wie du das mit der diskriminaten gemacht hast weiss ich wirklich nicht.kann sein das ich das mal irgendwann hatte in der schuke bzw. uni, aber das ist schon relativ viel rechenaufwand. einfacher geht es bestimmt damit:
"Bestimme Schnittstelle mit der x-Achse

\overset{}{\Leftrightarrow}

bestimme die Nullstellen. Naja einfach die Funktion f(x)=0 setzen und ausrechnen. Also mache das mal mit a)

f (x) = 2 - x^{2} \overset{}{\Leftrightarrow} f (x) = 0 = 2 - x^{2} \overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} = 2

so Wurzelziehen und fertig. Analog die anderen beiden Aufgaben." Mache es aber so wie du es am besten kannst.

zu 2:
muss ich auch erstmal schauen. das ist lange her

Scarface aktiv_icon

21:42 Uhr, 12.04.2011

Danke erstmal für deine Antwort. (Unten mache ich weitere Aufgaben)

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Gut, Aufgabe 2 weiß ich immernoch nicht wie es geht, wäre nett, wenn das jemand beantworten könnte.

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Wegen Aufgabe 3, meinst du anstatt C die Variable X? Also für X einfach verschiedene Werte einsetzen und dann beschreiben, ich hasse solche Aufgaben :D

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Aufgabe 4 e)
Ja, leichtsinnsfehler, ich sehe gerade dass ich den koeffizienten "b" nicht "-b" genommen habe.

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Aufgabe 4 f)

Ups, was hab ich denn da für ein Schwachsinn gemacht :D

Alles klar, danke, hätte selber drauf kommen müssen.

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Wegen der Diskriminante, dass ist einfach die Rechnung die unter dem Wurzel im A-B-C-Formel steht.

Diskriminante = b^2 - 4 * a * c

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So, jetzt mach ich an den Aufgaben weiter.

5. Die Parabel K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x^2 - 2x + 2,5

a) Beschreiben Sie den Verlauf der Parabel.

Sie ist eine verschobene, nach oben geöffnete Parabel.

b) Kennzeichnen Sie den minimalen Funktionswert und bestimmen Sie diesen. Wie entsteht K aus der normalparabel?

Ist der minimale Funktionswert der Scheitelpunkt?

$x s = \frac{- b}{2 a} \frac{2}{2} = 1$

xs habe ich ausgerechnet, aber wie war die Formel nochmal für ys?

Mit dem graphischen Rechner kommt ys= 1,5 raus

also: Minimale Funktionswert = S(1|1,5)

c) Für welche x-Werte gilt f(x) > 2,5?

Hmm, solche fragen habe ich eigendlich nie verstanden, muss man da eigendlich immer durch einsetzen versuchen, oder gibt's da eine Formel?

Also wenn ich 2 einsetze, komm genau 2,5 raus. (Alles weitere ist auch größer)

also ist die Antwort x = >2

d) Verschieben Sie K so in y-Richtung, dass die verschobenen Parabel G den Punkt P(1|0) mit der x-Achse gemeinsam hat. Wie liegt G im Koordinatensystem?

Okay, solche Aufgaben kann ich überhaupt nicht, ich weiß nicht wie ich da überhaupt anfangen soll. Kann es mir jemand bitte erklären?

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7. Berechnen Sie die exakten Nullstellen der Funktion f.

b) f(x) = -0,2(x^2 -3)

f(x) = -0,2x^2 +0,6 Koeffizienten (a = -0,2|b=0|c=0,6)

0 $\frac{+}{-}$ $\sqrt{0 - 4 * (- 0, 2) * 0, 6}$ / -0,4

x1= -1,73

x2= 1,73

Waren echt komische Zahlen, aber mein Taschenrechner hats bestätigt :D

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10. K von f ist das Schaubild der quadratischen Funktion f mit f(x) = 0,5x(x+3).

Wie muss K verschoben werden, damit die verschobene Kurve

a) die x-Achse berührt?

b) die x-Achse in x=1 schneidet?

Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm

Diese Aufgabe (a und b) ist wie 5. d), weiß wirklich nicht, wie es geht.

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11. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -0,5x^2 + 1,5x - 1,125

a) Zeigen Sie, dass die zugehörige Parabel K die x-Achse berührt.

Also wenn die Diskriminante 0 ist, bedeutet es, dass es die x-Achse berührt.

(Koeffizienten a = -0,5| b = 1,5| c = -1,125)

Diskriminante = 1,5^2 - 4* (-0,5) * (-1,125)

D = 0

Also berührt die Parabel die x-Achse.

b) Entscheiden Sie, ob der Punkt P(-1|-3,2) auf oder unterhalb der Parabel liegt.

Hmm, muss ich da x einfach einsetzen?

-0,5 - 1,5 - 1,125 = -3,125

Also liegt der Punkt unerhalb der Parabel K.

c) Bestimmen Sie die Gleichung der an der x-Achse gespiegelten Parabel K.

Wie geht denn dass? Kann denn eine Parabel an der x-Achse gespiegelt werden?

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12. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2 - 2x + 1/3 x^2

Zeigen Sie: f hat eine Nullstelle auf [1;1,5], ohne die Nullstelle zu berechnen.

Bestimmen Sie den kleinsten Funktionswert von f.

Muss man bei dieser Aufgabe die Parabel zeichnen? Oder gibt's auch ne rechnerische lösung?

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14. Für eine quadratische Funktion gilt: f(2) = 3 und f(-2) = 3

Erläutern Sie die Bedeutung dieser Bedingungen für das Schaubild von f.

Hmm, verstehe die Aufgabe wieder nicht.

c = 1? Also funktion =

f(x) = x^2 - 1 .. ?

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So, das waren erstmal alle Aufgaben von diesen beiden Seiten, habe eigendlich noch einiges vor mir. Werde dann morgen wieder welche machen. Ich hoffe bis dahin könnt ihr meine Fragen beantworten.

DerAlbert aktiv_icon

23:03 Uhr, 12.04.2011

Gut also, bei 3) meine ich das nicht ganz so.
Für das zeichnen der Parabel sind wichtig die x und y werte, aber auch die Variable c at auch was zu bedeuten. und so wie ich die Aufgabe verstanden habe musst du dies beachten. Also wie verhält sich die Parabel bei veränderbaren c, in 3a).
Also z.B. Streckung, Zerrung usw.

Gut und da ich heute eine Lust mehr habe und auch schon ein wenig getrunken habe, werde ich mir die anderen Aufgaben morgen mal genauer anschauen.

Scarface aktiv_icon

23:17 Uhr, 12.04.2011

Hmm, aber die 3. hat ja nur bei der

a)

eine Variable c? Jetzt komm ich durcheinander. Naja, hoffendlich können wir morgen dann die Fragen klären, damit ich bei den Aufgaben weitermachen kann. Ich weiß, dass ist ein bisschen unübersichtlich, aber ich hoffe jemand macht sich die Mühe und beantwortet meine Fragen :-D)
Die Klassenarbeit rückt immer näher :-D) Habe nur noch 2 Tage.

MfG

Fragen die noch offen sind:
2.
3.
5.

c) | d)

10

11

c)

12

14

.
Fragen die ich gelöst hab, aber eine Bestätigung brauche, ob sie richtig sind:
5.

a) | b)

11

a) | b)

Scarface aktiv_icon

01:24 Uhr, 14.04.2011

Warum wurde dieser Thread denn geschlossen, ich warte immernoch auf eine Antwort :-)

magix aktiv_icon

08:47 Uhr, 14.04.2011

zu deiner Aufgabe

2)

Normalparabel ist

m . W

y = x^{2}

. Am meisten lernst du, wenn du einfach mal in einem Zeichenprogramm die Normalparabel eingibst und dann anschließend Veränderungen daran vornimmst. Also

z . B

y = x^{2} + 1

oder

y = {(x - 1)}^{2}

oder

y = {(2 x)}^{2}

usw. Dann fällt es dir sicher nicht mehr schwer, diese Frage zu beantworten.

magix aktiv_icon

09:06 Uhr, 14.04.2011

Für die Frage 3 gilt dasselbe. Probieren geht über studieren!

zu

5) a)

Ist ok.

b)

Passt auch. Für

y_{s}

braucht man doch keine Formel. Kannst du doch einfach errechnen, indem du den zugehörigen x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.

c)

Ist ganz einfach. Du setzt die Funktionsgleichung

> 2,5

und bearbeitest dann die Gleichung bis sie nach

x

aufgelöst ist.

x^{2} - 2 x + 2,5 > 2,5 | - 2,5

x^{2} - 2 x > 0

x (x - 2) > 0

- \cdot \equiv +

und

+ \cdot + = +

müssen entweder beide Faktoren negativ oder beide positiv sein.
Fallunterscheidung:

x > 0

und zugleich muss

x - 2 > 0

gelten

\Rightarrow x > 2

x < 0

und zugleich muss

x - 2 < 0

gelten

\Rightarrow x < 0

y > 0 \in] \infty; 0 [

und

] 2; \infty [

c)

Mach mal erst, was ich unter Aufgabe 2 vorgeschlagen habe, dann ist das hier ein Kinderspiel.

DerAlbert aktiv_icon

11:40 Uhr, 14.04.2011

Tschuldige das ich gestern nicht mehr geantwortet habe. liege gerade mit grippe im bett und gestern konnte ich rein gar nichts machen.

3.
a) der wert c gibt hier eine verschieebung der parabel entlang der y-achse
b) der wert a gibt eine stauchung oder strecung der parabel an
c) der wert d gibt den berührpunkt mit der x-achse an oder eine verschiebung entlang der x-achse

11.
c) ja klar warum jede parabel oder funktion kann gespiegelt werden. hier in dienem beispiel ist das ganz einfach. einfach mit -1 multiplizieren und du hast deine gespiegelte parabel
der rest stimmt so.
14.
naja du kannst auf alle fälle schon mal sagen das die y-achse die parabel in der mitte halbiert, weil wenn du dir das aufzeichnest siehst du das oder hier sieht mann es exakt aus den gegeben werten. der funktionswert ist derselbe nur aber das argument (x wert) ist anders. aufmalen dann siehst du was ich meine.
meines wissens kann man nicht vielmehr sagen. mann kann keine expliziete parabel angeben, da nichts weiter gegeben ist.

12.
verstehe ich nicht. ist [1;1,5] ein interval oder ist es eine nullstelle. naja letzteres eher nicht, da durch einsetzen schon mal nicht 1,5 rauskommt. ansonsten zeihnene geht auc, aber wie gesagt du hast theoretisch in der schule gelernt wie sich eine parabel verhält, wenn du sie nur anschaust. also wie ändert sich das schaubild bei veränderlichem a, b, c in der normalenform.
hier auch nochmal gut beschrieben: www.schule-studium.de/Mathe/Quadratische_Funktonen.html

10.
würde ich aufmalen und probieren. tut mir leid das ich nichts genaueres machen kann bin aber wie gesagt krank und kann mich nicht konzentrieren.
aber aufmalen und probieren geht immer.

7.
also dadurch das du die exakten nullstellen angeben sollst, stimmen deine nullstellen nur geringfühgig. also exakt wäre

x_{1} = \sqrt{3}

und

x_{2} = - \sqrt{3}

oculus aktiv_icon

12:29 Uhr, 14.04.2011

Hallo,

die Aufgabe "Wie entstehen die Parabeln

a)

bis

c)

aus der Normalparabel y=ax^2+bx+c?"

a)P:y=0,5x^2−2,5
b)P:y=x^2−4x+4
c)P:y=−2x^2

verstehe ich auch nicht. Es wäre ja wohl keine sinnvolle Aufgabe, wenn man einfach sagen würde, die Parabel

a)

entsteht aus der Normalparabel, indem man

a = 0,5, b = 0

und

c = - 2,5

setzt.

Sinnvoll ist die Aufgabe, wenn man als Normalparabel die mit der Gleichung

y = x^{2}

auffasst.

Dann erhält man die Parabel

a)

durch eine "affine Abbildung", die im

R^{2}

(also der Koordinatenebene) die allgemeine Form

((x^{'}, y')) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

magix aktiv_icon

13:10 Uhr, 14.04.2011

Natürlich ist

y = x^{2}

die Normalparabel. Hab ich doch oben schon geschrieben. Der Rest deiner Einlassung mit der Matrix etc. wird den Fragesteller aber vermutlich eher verwirren.

Lass ihn doch mal selbst ausprobieren, so wie ich es oben vorgeschlagen habe. ;-)
Sonst lernt er es nicht und schreibt eine schlechte Note.

Gruß Magix

Scarface aktiv_icon

20:27 Uhr, 14.04.2011

(Ich poste erstmal diese Nachricht, ich werde nebenher an den neuen Aufgaben weiter machen und die auch Posten.)

Also erstmal Danke für eure Antworten, @ DerAlbert, kein Problem! Du verpflichtest dich hier ja zu nichts, also brauchst dich nicht zu entschuldigen :) Gute Besserungen.

Erstmal zur Aufgabe 2.
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Stimmt, habe die Gleichung anstatt die Normalparabel eingegeben. Muss mich mehr konzentrieren, während ich die Aufgaben mache. Das von Occulus habe ich ab "affine Abbildung" nicht mehr verstanden :D So weit sind wir noch garnicht.

Also, ich verstehe die Frage allgemein nicht, ich weiß nicht was ich da Antworten muss. Ich weiß, dass sich die Parabel verändert, durch a die Breite, durch b die Verschiebung auf der x-Achse und durch c die Verschiebung auf der y-Achse. Aber das ist wohl kaum die Antwort, oder? Hmm..

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Aufgabe 3.

Achso, okay! So ähnlich hatte ich mir das gedacht. Aber das mit "d" hätte ich nicht rausgekriegt, danke! (Habe es jetzt auch mal mit einzeichnen versucht, das simmt, so verschiebt sich der Berührpunkt auf der x-Achse, kann man das so sagen?)

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Aufgabe 5.

b) Stimmt, sowas darf mir in der Arbeit nicht passieren, solche leichtsinnsfehler!

c) Also bedeutet es, dass für diese x-Werte (0,1,2) f(x)>2,5 gilt?

d) Hmm, soll ich also bei solchen Aufgaben rumprobieren? Gibt es keinen rechnerischen Weg?

Ich habe die Formel dann einfach, so umgeändert : x^2 - 2x + 1

Dann liegt sie eigendlich fast auf dem Punkt (1/0). Mein Graph. Taschenrechner zeigt an, dass x -> 0,9999992734 ist. Komisch.

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Aufgabe 11.

c) Achso, ich dachte schon seitlich Spiegeln, auf was für Gedanken man kommen kann! :D Habe da an Achsensymetrisch gedacht..

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Aufgabe 12.

Stimmt, habe es zeichnen lassen, es gibt keine Nullstellen auf [1;1,5]. Hat das Buch einen Fehler?

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Aufgabe 14.

Also nur Achsensymetrisch zur y-Achse? Mehr nicht?

DerAlbert aktiv_icon

20:57 Uhr, 14.04.2011

doch bei manchen aufgaben kann man das so einfach hinschreiben. mathematik ist in einigen sachen schon relativ trivial und es reicht zu wenn man einfach nur 2 wörter hinschreibt und das wars.

so:

5.
c) nein nicht ganz. ab

x > 2

gilt

f (x) > 2, 5

alle anderen werte nicht. oh halt warte nicht ganz richtig. also

x \in ℝ \ (0, 1, 2)

, d.h. x aus den reelen zahlen ohne die 0, 1, 2. hier in diesem beispie leicht zu errechnen und zu ersehen.
d) ja es gibt einen rechnerischen weg. sagt dir quadratische ergänzung etwas. also wenn du eine quadratische gleichung in diese form hier,

(x + d)^{2} + e

, umformst, dann ist der Scheitelpunkt halt gerade S(-d/e). Also in deinem beispiel.

x^{2} - 2 x + 2, 5 \overset{}{\Leftrightarrow} (x - 1)^{2} + 1, 5

so naja hier sieht du das dann schon.

gugst du hier. www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_scheitelpunktsbestimmungen_33.htm
bin mal so frech und kopiere das ausm internet einfach raus. aber das braucte ich gerade für meinen nachilfeschüler.

3. ja was will man anderes hinschreiben.

14.
jo das reicht, also wenn nicht noch mehr dazu steht dann reicht das. du kannst dann aus den gegebenen sachen nichts weiter feststellen. zumindest sehe ich nichts weiter. du kannst nicht sagen wo die nullsetllen sind, wo der scheitelpunkt, ob sie gestaucht ist oder nicht. wo der schnittpunkt mit deen achsen ist. usw.

so also wie gesagt. mathe ist nicht so schwer wie manche denken. manchmal reichen die simpelsten sachen hinzuschreiben und man ist fertig. romane in der mathe arbeit schreiben ist an und für sich immer ein fehler.

asso: dir viel glück in deiner arbeit morgen. werde mich nun mal wieder mit chemie voll pumpen

Scarface aktiv_icon

06:42 Uhr, 15.04.2011

Aufgabe 5

c) Also hatte ich die Frage doch richtig beantwortet, oder nicht? :D

d) Hmm, auf der Seite die du verlinkt hast, gab es keine Formel die (x+d)^2 +e heißt. Wofür steht das e? Wie kriegt man es heraus?

Naja, wozu die Fragen, jetzt bringen mir die Antworten eh nichts mehr :D

Danke für den Glückwunsch, das brauche ich :D

Also nochmal Danke an alle, die versucht haben mir zu helfen.

MfG (Bjs bald :D )

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