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Ausklammern von e^-x

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Ausklammern, e-Funktion

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

12:37 Uhr, 30.11.2008

Guten Tag!

nachdem mir hier das letzte Ma so gut geholfen wurde, dass ich

12

Punkte in der Mathe-LK Klausur hatte, wende ich mich nun nochmals an euch.

Meine Fragen sind äußerst banal, aber mir fehlen auf Grund des Verpassens einiger Klassen in

D

teilweise die Grundlagen:

Bei meiner Frage geht es um die Kurvendiskussion folgender Funktion:

f (x) = x^{2} \cdot e^{- x}

Um die Extrema zu bestimmen, muss ich nun die erste Ableitung bilden.
Dazu habe ich die Produktregel genommen:

u = x^{2}

u´=

2 x

v = e^{- x}

v´=

- e^{x}

f´(x)=

2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot - e^{x}

Um hier die Lösungen für f´(x)=0 zu erhalten, muss ich ausklammern, richtig?

Meine Frage nun: Wie klammere ich

e^{- x}

aus? Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch...

Danke im Voraus für eure Hilfe,

die fragende Nora

PS: Die Ableitungen stimmen doch, oder:

e^{x}

wird zu

e^{- x}

und

e^{- x}

- e^{x}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Gemischte Aufgaben
Kettenregel
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

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Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

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Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

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Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

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Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

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Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

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Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

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Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

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Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

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Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

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Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

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Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

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Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

MBler07 aktiv_icon

19:29 Uhr, 30.11.2008

Hi

Deine Ableitungen stimmen nicht:

e^{- x} \to - e^{- x}

Der Exponent einer e-Funktion bleibt immer derselbe, egal ob man ab-oder aufleitet (integriert).

Grüße

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

20:32 Uhr, 30.11.2008

Und wie bekomt man das heraus? Auch per Kettenregel oder sind das sozusagen "Vokabeln"?

Und mal davon abgesehen und nur bezüglich des Ausklammerns gefragt:

e^{- x} \cdot 4 x + 2 e^{x} - 5 e^{x} + 7 x \cdot e^{- x} =

e^x*(????)

Also was steht dann in der Klammer? Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch.

Klammer=

e^{- 2} x \cdot 4 x + 2 - 5 + 7 x \cdot e^{- 2} x = 11 x \cdot e^{- 2} x - 3

Stimmt das?

MBler07 aktiv_icon

20:39 Uhr, 30.11.2008

Was ist das jetzt für eine Funktion?

Für die ursprüngliche:

f (x) = x^{2} \cdot e^{- x}

f' (x) = 2 x \cdot e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) = e^{- x} (2 x - x^{2})

Für die andere (wie auch immer du da drauf kommst):

4 x e^{- x} + 2 e^{x} - 5 e^{x} + 7 x e^{- x} = e^{- x} (4 x + 7 x) + e^{x} (2 - 5)

und so würde ich das stehen lassen

Falls du aber umbedingt

e^{x}

vorne stehen haben willst stimmt deins.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

21:03 Uhr, 30.11.2008

Okay, merci.

Wo ich die andere Funktion herhabe? Das war jetzt einfach Fantasie.
Ich habe das

e^{x}

nach vornegestellt, da ich es ja

z . B

. bei der Ermittlung der Extrema so machen müsste, oder nicht?

MBler07 aktiv_icon

21:05 Uhr, 30.11.2008

Bei der fantasiefunktio? Da bringt dir das nicht. Bei der Aufgabe ist's aber richtig.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

21:30 Uhr, 30.11.2008

Nur generell gesehen, meine ich, muss man doch dann

e^{x}

ausklammern, da die Lösung dann

e^{x} = 0

und (Klammer)= 0 ist.

Verstehst du, was ich meine ? :-)

MBler07 aktiv_icon

21:34 Uhr, 30.11.2008

Natürlich versteh ich was du meinst.

Du wendest einfach die Regel an, dass ein Produkt Null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist. Da

e^{x}

nie Null werden kann, klammerst du das aus um zu berechnen, wann der Rest des Prodults Null wird.

Abgesehen von der Ableitung in deiner Frage ist bisher alles richtig, was du geschrieben hast.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

21:46 Uhr, 30.11.2008

Also nochmal zu der Funktion:

f (x) = x^{2} \cdot e^{- x}

Und zur Ableitung samt Extrema:

u = x^{2}

u´=

2 x

v = e^{- x}

v´=

- e^{- x}

f´(x)=

2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot - e^{- x}

= x \cdot e^{- x} (2 + x)

x = 0

und

e^{- x} = 0

und

x = - 2

Also mögliche Extrema an den Stellen 0 und

2,

richtig?

MBler07 aktiv_icon

21:57 Uhr, 30.11.2008

Richtig. Aber

e^{x}

und

e^{- x}

werden trotzdem nie Null.
Bei

e^{- x} (x + 2) = 0

wäre nur

x = - 2

eine Lösung.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

22:00 Uhr, 30.11.2008

Jep, habe ich vergessen dazuzuschreiben, ist mir aber bewusst, dass sie sich 0 nur annähern.
Gibt es denn bei den e^x-Termen Gesetze oder ist das jedes Mal die Kettenregel?

f (x) = e^{x}

ist

f (x) = e^{x}

f (x) = e^{- x}

ist

f (x) = - e^{- x}

Ist das irgendwo vll zusammengefasst oder muss/kann ich das immer per Kettenregel lösen?

Aralyn aktiv_icon

22:02 Uhr, 30.11.2008

Zu der

e^{x}

sache:

f (x) = e^{- x}

u (x) = e^{x}

v (x) = - x

f' (x) = u' (v (x)) \cdot v' (x)

u' (x) = e^{x}

v' (x) = - 1

\Rightarrow f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 = - e^{- x}

MBler07 aktiv_icon

22:09 Uhr, 30.11.2008

Den Weg von Aralyn wendest du zu Beginn an. Später kannst du dir einfach merken:

f (x) = e^{a \cdot x} \to f' (x) = a \cdot e^{a \cdot x}

und weißt dann, dass das von der Kettenregel kommt.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

19:10 Uhr, 01.12.2008

Okay, das hilft mir sehr weiter, danke euch beiden.

Ein anderes Problem bei der Ableitung habe ich bei dieser Funktion:

f (x) = k \cdot k^{x} - k^{x}

Das hintere

k^{x}

ist abgeleitet

ln (k) \cdot k^{x},

das ist klar, aber was passiert mit dem vorderen Teil?

Jetzt habe ich noch eine Frage(Ich weiß, ich bin schlimm...)bezüglich L´Hospital.

Bei folgender Funtion möchte ich den

lim x \to - \infty

bestimmen(für

t > 0) :

x*e^-tx^2

Hierbei wäre ja der erste Teil

- \infty,

aber der zweite ginge gegen 0. Kann ich hier l´Hospital anwenden oder wie löse ich das auf? Meinem Lehrer ist es zu einfach

- \infty \cdot 0 = 0

zu schreiben.

Ich danke euch einmal mehr bereits im Voraus, ihr seid stets eine super Hilfe!!!

MBler07 aktiv_icon

19:59 Uhr, 01.12.2008

"was passiert mit dem vorderen Teil?"
genau dasselbe. Du kannst es dir natürlich auch noch vereinfachen:

k \cdot k^{x} - k^{x} = k^{x} (k - 1)

und

k - 1

ist ein konstanter Faktor, der einfach erhalten bleibt.

"Kann ich hier l´Hospital anwenden "
Ja. Denn

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{t x^{2}}} = \frac{\infty}{\infty} \to

unbestimmt.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

20:10 Uhr, 01.12.2008

Okay, du bist mir wirklich jedes Mal eine große Hilfe!

Bezüglich Hospital habe ich deine Erläuterung zwar verstanden, aber was ist jetzt bei

x \to - \infty

f (x) =

x*e^-tx^2

x = - \infty

Und der zeite Teil doch auch, oder nicht?

Das wäre dann ja insgesamt

+ \infty,

mein Heft sagt aber

- \infty

Wo liegt mein Fehler?

: S

MBler07 aktiv_icon

20:28 Uhr, 01.12.2008

Da hab ich wohl nicht genau genug gelesen...

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{t x^{2}}} = \frac{- \infty}{e^{t \cdot {(- \infty)}^{2}}} = \frac{- \infty}{e^{t \cdot \infty}} = \frac{- \infty}{\infty} \to

nicht definiert

l'Hospital:

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{t x^{2}}} = lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 t \cdot x \cdot e^{t x^{2}}} = \frac{1}{(- \infty) \cdot \infty} = 0

Keine Ahnung, wie du auf das Ergebnis in deinem Heft kommst, aber das ist wohl falsch.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

20:38 Uhr, 01.12.2008

Okay, ich dachte bisher, ich könne L´Hospital nur bei

lim \frac{0}{0}

oder

lim \frac{+ \infty}{+ \infty}

anwenden, es geht aber auch bei

+ \frac{\infty}{- \infty},

wenn ich das bei dir richtig sehe?

Edith: Das Ergebnis von eben ist ja für

t > 0

und da habe ich auch bei beidem

0,

stimmte also auch in meinem Heft ;-)

MBler07 aktiv_icon

20:43 Uhr, 01.12.2008

Genau. denn

\frac{\infty}{- \infty} = - \frac{\infty}{\infty} = - (\frac{\infty}{\infty})

Allgemein: l'Hospital bei

\frac{0}{0}

oder

\frac{\pm \infty}{\pm \infty}

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