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Berechne Realteil, Imaginärteil, Argument, Betrag

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Argument, Betrag, Komplexe Zahlen, Kosinus, Kreis, realteil, Sinus

KennyDr aktiv_icon

13:24 Uhr, 17.07.2010

Moin, folgende Aufgabe habe ich:

"Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag von

z

element aus C"

z = 2^{- 30} {(i - \sqrt{3})}^{32}

Sieht simpel aus, dennoch bin ich hier ratlos.

Die Antwort auf dem Lösungsblatt gibt mir hier auch kaum Hilfestellung.

Ich weiß, dass

z = r \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

ist. Nur habe ich keine Ahnung wie ich das hier anwende...

Lösungsblatt:
Es ist,

{(i - \sqrt{3})}^{32} = {(2 \cdot cos (\frac{5 \cdot π}{6}) + i \cdot 2 \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{6}))}^{32}

= 2^{32} (cos (\frac{160 \cdot π}{6}) + i \cdot sin (\frac{160 \cdot π}{6}))

Damit erhält man:

z = 4 (cos (\frac{2 \cdot π}{3}) + i \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3}) = 4 (- \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \cdot \sqrt{3})

Hier ließt man ab : Re

z = - 2,

z = 2 \sqrt{3},

Arg

z = \frac{2 \cdot π}{3},

und Betrag

z = 4

.

Mir ist hier so ziemlich alles unklar:
Wo verschwindet die

2^{- 30}

?
Wie komme ich auf

φ = \frac{5 \cdot π}{6}

?
Warum verschwindet, in dem Teil, wo man die antworten "ablesen" soll, die

- 1

über dem ersten Bruch?

Oh mann.. ich newbie

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
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anonymous

13:39 Uhr, 17.07.2010

2^{- 30} \cdot 2^{32} = 2^{2} = 4

Die 4 hast du in deiner Lösung vorne dranstehen , da verschwindet nix .

Hoffe es hilft .

anonymous

13:46 Uhr, 17.07.2010

2 \cdot cos ((\frac{5}{6}) π)

ist eben

- \sqrt{3},

so kommt man auf das , weil der Kosinusterm dem Realteil der Angabe entspricht.

Einfach wärs aber so :
Man vereinfacht mit Potenzgesetzen das ganze so :

z = 2^{- 30} {(i - \sqrt{3})}^{32} = {(2 (i - \sqrt{3}))}^{2} = 2^{2} ({(i - \sqrt{3})}^{2}) = 4 ({(i - \sqrt{3})}^{2})

Mit hinsehn eh schon ablesen und in Taschenrechner eingeben .

KennyDr aktiv_icon

13:56 Uhr, 17.07.2010

d . h

. man schließt nicht von

- \sqrt{3}

auf

2 \cdot cos (\frac{5 \cdot π}{6})

sondern man lernt es auswendig ?
Mein taschenrechner sagt mir für

2 \cdot cos (\frac{5 \cdot π}{6}) = - \sqrt{3},

nur andersum weiß ich nicht wie das geht.

Für

2 \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{6}) = 1

. Weil ja

1 \cdot i,

da steht, denk ich. Halt der Imaginärteil.

Danke dir schonmal... das mit der 4 ist peinlich

\frac{:}{}

anonymous

14:07 Uhr, 17.07.2010

Naja auswendig lernen muss man das nicht *gg

Dass

- \sqrt{3}

der 2*Cosinus in der Formel sein muss erkennst du ja durch hinsehn , weil das das einzige ohne

i

ist wenn mans ausmultiplizieren würde.

Du kannst dir doch die Gleichung umstellen die du dastehn hast mit shift

cos

bzw

{cos}^{- 1}

mit dem Taschenrechner :

2cos(x)=

- \sqrt{3}

cos (x) = \frac{1}{2} \cdot - \sqrt{3}

Jetzt halt

{cos}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot - \sqrt{3})

nehmen mit dem Taschenrechner, dann bekommst mit dem Taschenrechner deinen

\frac{5}{6} Π

Wert raus.

Normal wiederholt sich diese Lösung periodisch , aber das spielt hier keine Rolle , weil sich das wieder rauskürzt .

KennyDr aktiv_icon

15:13 Uhr, 17.07.2010

Zitat: "Dass

- \sqrt{3}

der 2*Cosinus in der Formel sein muss erkennst du ja durch hinsehn , weil das das einzige ohne

i

ist wenn mans ausmultiplizieren würde."

Seh ich nicht .. den zusammenhang versteh ich nicht.

die ganze aufgabe mact jetzt sinn, es ist nur noch unklar wie ich auf die

2 \cdot cos (\frac{5 \cdot π}{6})

und

2 \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{6})

komme. Ja, im TR die formel umstellen hab ich auch hinbekommen mit dem

{cos}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot - \sqrt{3}),

aaabeerr weiß ich ja nicht, das das

2 \cdot cos

bzw

\frac{1}{2}

sein muss.

Wie gesagt, das kann ich da nicht ersehen, kannst du mir das noch irgendwie deutlich machen?

anonymous

15:41 Uhr, 17.07.2010

4 {((i - \sqrt{3}))}^{2} = 4 (i^{2} - 2 i \sqrt{3} + 3) = 4 (2 - 2 i \sqrt{3})

Nur bei

- 2 i \sqrt{3}

also bei

\sqrt{3}

bleibt

i

im Term übrig.

KennyDr aktiv_icon

16:07 Uhr, 17.07.2010

ich glaub wir rennen aneinander vorbei...
ich weiß was der reale und was der imaginäre teil in so eine Gleichung ist. also das mit dem

i

und das andere ohne

i

z = r \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

Rechts, imaginär, Links: Real.

Mein Problem ist aber "nur" das ich nicht weiß warum

φ = \frac{5 \cdot π}{6}

ist, und warum man

2 \cdot cos (φ)

bzw

2 \cdot sin (φ)

benutzt.Also warum man dann Faktor 2 da einbringen muss...
Das man wenn man den Faktor weg lässt, auf ein falsches ergebnis kommt, ja, das ist mir auch klar, aber wer sagt mir, das es Faktor 2 ist und nicht

\frac{08}{15}

?

Tut mir Leid, falls ich grad derb auf dem schlauch stehe...

pleindespoir aktiv_icon

16:49 Uhr, 17.07.2010

z = 2^{- 30} \cdot (i - \sqrt{3})^{32}

z = \frac{1}{2^{30}} \cdot (- \sqrt{3} + i)^{32}

z = (\frac{1}{2})^{30} \cdot (\sqrt{(- \sqrt{3})^{2} + 1^{2}})^{32} \cdot e^{32 i \cdot a r c t a n (\frac{1}{- \sqrt{3}})}

z = (\frac{1}{2})^{30} \cdot ((- \sqrt{3})^{2} + 1^{2})^{30} \cdot e^{32 i \cdot a r c t a n (- ⅓ \sqrt{3})}

--------------
Wichtige Funktionswerte Tangens :

{\tan 0}^{\circ} = 0

\tan 2 2, 5^{\circ} = \sqrt{2} - 1

\tan 3 0^{\circ} = ⅓ \sqrt{3}

\tan 4 5^{\circ} = 1

\tan 6 0^{\circ} = \sqrt{3}

\tan 6 7, 5^{\circ} \sqrt{2} + 1

lim_{α \to 9 0^{\circ}} \tan α = \pm \infty

3 0^{\circ} := ⅙ π

- 3 0^{\circ} := - ⅙ π

- ⅙ π := \frac{11}{6} π

---------------

z = (\frac{1}{2})^{30} \cdot (4)^{30} \cdot e^{32 i \cdot \frac{11}{6} π}

z = (\frac{4}{2})^{30} \cdot e^{i \cdot 32 \cdot \frac{11}{6} π}

z = (2)^{30} \cdot e^{i \cdot \frac{16 \cdot 11}{3} π}

z = (2)^{30} \cdot e^{i \cdot 58 \frac{2}{3} π}

z = (2)^{30} \cdot e^{i \cdot \frac{2}{3} π}

anonymous

16:52 Uhr, 17.07.2010

Ja schon
Überleg dir mal was dein Betrag

r

ist wenn du die in trigonimetrische Form umformst oder schau dir das in deiner Lösung an .

(i - \sqrt{3})

Betrag

r

davon :

\sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}} = 2

Deswegen ist in der Lösung auch eine 2 vor sin und

cos

.
Die Hochzahl

32

spielt beim Umwandeln keine große Rolle , man hängt sie einfach an den Cos Sin Term oben eben ran .

Und da nur die

- \sqrt{3}

für den Cosinusterm verantwortlich ist , weil dort als einziges

i

übrigbleibt ist das eben so dass

- \sqrt{3} = 2 cos (x)

gelten muss und du somit

z . b

den Winkel bestimmen kannst .

anonymous

17:03 Uhr, 17.07.2010

Den Winkel kann man auch per Formel bestimmen durch Vorzeichenuntersuchung von

x

und

y

bei der komplexen Zahl x+yi:

Wäre dann Artan

\frac{y}{x} +

einem von

x

und

y

Vorzeichenabhängigen

π

Wert eben .

Ist halt hier sehr aufwendig um Vergleich zu dem Gleichung durch hinsehn lösen , da man es aus der Angabe eben ersehen kann dass die oben genannte Gleichung gelten muss .
So spart man sich das nachsehenen in ner Tabelle .

anonymous

17:13 Uhr, 17.07.2010

Man kommt genauso auf (artan

\frac{1}{- \sqrt{3}}) + Π = \frac{5}{6} π

wenn man die Vorzeichenformel nimmt .

Ist eben recht umständlich das nachsehn, dass man da genau

1 \cdot Π

addieren muss , wenn beim dem Vorzeichenverhalten

x > 0

und

y < 0

gilt.

KennyDr aktiv_icon

20:03 Uhr, 18.07.2010

Ich danke euch, das muss ich nun erstmal verkraften :-)

+rep

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