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Bestimmen sie die Funktionsgleichung

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Funktion, Gleichungen, Steigung

Polynomdivision aktiv_icon

23:19 Uhr, 20.02.2010

Hallo,

bräuchte nochmal eure Hilfe.
Geht um die Aufgabe

1 c) .

Ich habe bisher folgendes rausbekommen:

P 1 = (- 0,25

für

x

und 0 für

y)

P 2 = (2

für

x

und 0 für

y)

Steigung

= (9

für

x

und 0 für

y)

y =

ax²

+

+ c

y' =

2ax

+ b

0 =

a*025²

+ b \cdot 0,25 + c

II:

0 =

a*2²

+ b \cdot 2 + c

III:

0 = 2 \cdot a \cdot 9 + b

mit den Daten habe ich mal angefangen und kommt dann auf

0 = 27,56 \cdot a

als ich a ausrechnen wollte. da muss ich wohl ein fehler gemacht haben oder?

hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen

schonmal Danke!

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23:34 Uhr, 20.02.2010

Die Nullstellen sind dir gegeben also

f (x) = a (x - 2) (x + \frac{1}{4}) = a (x^{2} - 1,75 x - \frac{1}{2})

Dann ist

f' (2) = 9

also

a (2 \cdot 2 - 1,75) = 9 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2,25} = 4

\Rightarrow f (x) = 4 (x^{2} - 1,75 x - \frac{1}{2}) = 4 x^{2} - 7 x - 2

Shipwater

Polynomdivision aktiv_icon

23:39 Uhr, 20.02.2010

hey danke

aber wie kommst du auf

\frac{9}{2,25}

?
sind meine schritte oben komplett flasch?

blicke da irgendwie nicht so ganz durch.

a und

b

hab ich gelöst aber

c

bereitet mir kopfschmerzen

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23:43 Uhr, 20.02.2010

Wenn du die Nullstellen hast kannst du sie gleich in die Nullstellenform einsetzen. Daher

f (x) = a (x - 2) (x + \frac{1}{4})

Setzt du hier für

x

die 2 ein wird der Faktor

x - 2

zu Null und bekanntlich ist ein Produkt dann Null wenn einer seiner Faktoren Null ist. Um a zu ermitteln benutzt man dann noch die Information

f' (2) = 9

JueKei aktiv_icon

23:53 Uhr, 20.02.2010

Elegant gelöst Ship,
die Standardvariante mit drei Gleichungen wäre aufwändiger

Polynomdivision aktiv_icon

23:57 Uhr, 20.02.2010

die mit 3 gleichungen müssen wir auch benutzen, sind meine 3 gleichungen oben falsch?

JueKei aktiv_icon

00:03 Uhr, 21.02.2010

in der ersten Gleichung wäre

- 0,25

für

x

"geschickter"
in der dritten hast du dich auch vertan:

f' (2) = 9!

Polynomdivision aktiv_icon

00:06 Uhr, 21.02.2010

oh ja das hab ich falsch übernommen

also wäre es dann?

I:

0 =

a*-025²

+ b

⋅

- 0,25 + c

und II und III sind richtig?

aber bei II muss ich doch die steigung in die 1. ableitung einsetzen oder?

also

(9

für

x

und 0 für

y)

wären für mich dann 0=2⋅a⋅9+b ?

Shipwater aktiv_icon

00:11 Uhr, 21.02.2010

0 = {(- 0,25)}^{2} a - 0,25 b + c

0 = 4 a + 2 b + c

9 = 4 a + b

JueKei aktiv_icon

00:12 Uhr, 21.02.2010

Zu deiner letzten ergänzung:
Bei

x = 2

soll die Steigung gleich 9 sein, deshalb die dritte Gleichung von Ship...

Polynomdivision aktiv_icon

00:23 Uhr, 21.02.2010

achso und

9 = 4 a + b

weil von der 1. ableitung

= y' =

2ax

+ b

?
wäre ja das gleiche dann

9 = 2 \cdot a \cdot 2 + b

oder?

Shipwater aktiv_icon

00:24 Uhr, 21.02.2010

Richtig erkannt.

Polynomdivision aktiv_icon

11:07 Uhr, 21.02.2010

dann habe ich jetzt zuerst a ausgerechnet und habe rausbekommen

4,1 = a

?
für

b = - 7,4

für

c = - 2,11

Shipwater aktiv_icon

11:12 Uhr, 21.02.2010

Also ich erhalte ein ähnliches, aber doch anderes Ergebnis:

a = 4

b = - 7

c = - 2

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11:16 Uhr, 21.02.2010

kommt vielleicht weil ich am anfang -0,25² als

- 0,063

gerechnet habe, werde das nochmal überprüfen

danke Shipwater und JueKei

Shipwater aktiv_icon

11:17 Uhr, 21.02.2010

{(- 0,25)}^{2} = 0,0625

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12:31 Uhr, 21.02.2010

und bei

a)

habe ich rausbekommen:

a = - 0,5; b = 4; C = - 5

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12:43 Uhr, 21.02.2010

Teste doch einfach ob die Erforderungen erfüllt werden.

Polynomdivision aktiv_icon

12:45 Uhr, 21.02.2010

meiner meinung nach ja

Shipwater aktiv_icon

12:49 Uhr, 21.02.2010

Also wenn sie die Erforderungen erfüllt dann stimmt es.

Polynomdivision aktiv_icon

12:53 Uhr, 21.02.2010

was meinst du mit erforderungen bzw. wie kann man es nachprüfen
habe

P 1 (7

und

- 1,5)

P 2 (0

und

- 5)

und die Steigung ist ja

(- 3

und

7)

habe es dann so gemacht wie in der aufgabe

c)

Shipwater aktiv_icon

13:08 Uhr, 21.02.2010

Ja du prüfst ob gilt

f (7) = - 1,5

etc.

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