Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Darf ich hier Kürzen?

Darf ich hier Kürzen?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Definitionsbereich, Gebrochen-rationale Funktionen

sweetangel aktiv_icon

11:28 Uhr, 27.09.2009

Darf ich hier gleich Kürzen?
Also meine Aufgabe ist es, die erste Ableitung und den Definitionsbereich dieser Funktion zu bestimmen.

f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{3}}

kann ich da jetzt kürzen also oben die Potenz?
Dankeee

: - \cdot

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durch?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Shipwater aktiv_icon

11:29 Uhr, 27.09.2009

Hallo sweetangel,

ich verstehe nicht so Recht. Was willst du denn kürzen?

Gruß Shipwater

sweetangel aktiv_icon

11:32 Uhr, 27.09.2009

ich dachte das ich die Potenzen des zählers und nenners vielleichtküzen darf :-D)
okay, also muss ich die jetzt ersteinmal auflösen oder was muss ich als erstes machen,d amit ich die ableitung herrauskriege? ;-)

Shipwater aktiv_icon

11:34 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

achso, aber man kann Potenzen nur kürzen, wenn die Basen gleich sind. Also zum Beispiel bei

\frac{{(2 x + 5)}^{2}}{2 x + 5}

. Aber in deinem Falle nicht.

Zur ersten Ableitung: Wende doch die Quotientenregel unter Beachtung der Kettenregel an.

Gruß Shipwater

sweetangel aktiv_icon

11:40 Uhr, 27.09.2009

okay, ich ahbe das jetzt einfach mal umgeformt udn ahbe folgendes herrausbekommen:

f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x - 125}

soo und jetzt wende ich die Quotientenregel an, ist das dann richtig?

Shipwater aktiv_icon

11:43 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

du hast jetzt ausmultipliziert. Das hättest du aber nicht tun brauchen. Wenn es dir so aber lieber ist, dann kannst du es auch so abeiten. Und ja, du kannst jetzt die Quotientenregel anwenden.

Gruß Shipwater

sweetangel aktiv_icon

11:45 Uhr, 27.09.2009

Und wie hätte ich das auch gleich machen können? ;-) also ohne ausmultiplizieren?

BjBot aktiv_icon

11:47 Uhr, 27.09.2009

Kettenregel.

sweetangel aktiv_icon

11:50 Uhr, 27.09.2009

und wie soll ich die hier anwenden, ich kenne die bis jetzt nur mit einem term

: (

könnte mir bitte jemand den anfang mal hinschreiben un dich versuche es dann weiter zu lösen? ;-)

Shipwater aktiv_icon

11:53 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

zuerst leitest du den Zähler ab und multiplizierst die Ableitung dann mit dem Nenner. Dann leitest du den Nenner ab und multiplizierst diese Ableitung dann mit dem Zähler und das Produkt aus Nennerableitung und Zähler subtrahierst du dann von dem Produkt aus Zählerableitung und Nenner. Und zum Schluss dividierst du die Differenz noch durch das Quadrat des Nenners.

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\to f' (x) = \frac{u' (x) \cdot v (x) - v' (x) \cdot u (x)}{v^{2} (x)}

Zuerst sollst du also

{(x + 1)}^{2}

ableiten. Das geht mit der Produktregel. Kannst du das denn? Falls nein, multipliziere aus und leite

x^{2} + 2 x + 1

dann einfach Summand für Summand ab.

Gruß Shipwater

sweetangel aktiv_icon

11:58 Uhr, 27.09.2009

ja, das verstehe ich ja alles, nur ist mein einziges Problem, dass ich nicht weiß, was ich mit der hoch 2 machen soll, wenn ich dann die produktregel anwende?
dankeee :-)

Shipwater aktiv_icon

12:02 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

du hast bei

{(x + 1)}^{2}

eine innere Funktion, die lautet

i (x) = x + 1

und eine äußere Funktion, die lautet

a (x) = x^{2}

Zuerst leitest du die äußere Funktion ab, also

a' (x) = 2 x

und ersetzt in dieser

x

mit der inneren Funktion, also

2 \cdot (x + 1)

. Und das multiplizierst du letzendlich noch mit der Ableitung der inneren Funktion

i' (x) = 1

Das Ergebnis ist also

2 \cdot (x + 1) \cdot 1 = 2 \cdot (x + 1)

Shipwater

sweetangel aktiv_icon

12:16 Uhr, 27.09.2009

okay, das habe ich jetzt einigermaßen verstanden.
allerding habe ich ja jetzt hoch 3 und dann heißt es so:

oder?

3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot (2)

oder?
und was muss ich jetzt machen?

Shipwater aktiv_icon

12:18 Uhr, 27.09.2009

Die Nennerableitung ist korrekt. Und ich hab doch oben geschrieben, wie du die Quotientenregel anwenden musst.

Gruß Shipwater

sweetangel aktiv_icon

12:21 Uhr, 27.09.2009

Mmh, dann probiere ich das einfach mal, ist das so okay:

f´(x)=

\frac{(1) (3 (2 x - 5) \cdot 2) - (2 \cdot (x + 1)) (2)}{{(3 \cdot (2 x - 5) \cdot 2)}^{2}}

Shipwater aktiv_icon

12:47 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

ich verstehe nicht genau, wie du auf dein Ergebnis kommst.

Ableitung des Zählers ist

2 (x + 1)

Nenner ist

{(2 x - 5)}^{3}

Produkt aus Ableitung des Zählers und Nenner ist

2 (x + 1) {(2 x - 5)}^{3}

Ableitung des Nenners ist

6 {(2 x - 5)}^{2}

Zähler ist

{(x + 1)}^{2}

Produkt aus Ableitung des Nenners und Zähler ist

6 {(2 x - 5)}^{2} {(x + 1)}^{2}

Quadrat des Nenners ist:

{({(2 x - 5)}^{3})}^{2} = {(2 x - 5)}^{6}

f (x) = \frac{Z a e h l e r}{N e n n e r}

f' (x) = \frac{P r o d u k t a u s A b l e i t u n g d e s Z a e h l e r s u n d N e n n e r - P r o d u k t a u s A b l e i t u n g d e s N e n n e r s u n d Z a e h l e r}{Q u a d r a t d e s N e n n e r s}

Hier musst du jetzt nur noch alles einsetzen.

Gruß Shipwater

sweetangel aktiv_icon

20:39 Uhr, 27.09.2009

okay, ich glaube jetzt habe ich es verstanden ;-)
Bekomme ich denn dann als ergebnis das herraus:

\frac{- 2 x - 4}{{(2 x - 5)}^{4}}

liebe grüße, dankeee ;-)

pleindespoir aktiv_icon

21:07 Uhr, 27.09.2009

gelöscht

sweetangel aktiv_icon

21:13 Uhr, 27.09.2009

gelöscht??? :-D)

magix aktiv_icon

21:39 Uhr, 27.09.2009

Mir scheint, das du dich bei der Vereinfachung des Ergebnisses irgendwo verrechnet hast. Ich bekomme jedenfalls im Zähler ein anderes Ergebnis. Kannst du mal deine Schritte hier reinschreiben, damit ich sehen kann, wann und wieso es verkehrt wird?

Gruß Magix

sweetangel aktiv_icon

21:50 Uhr, 27.09.2009

\frac{2 (x + 1) {(2 x - 5)}^{3} - 6 {(2 x - 5)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{6}}

= dann habe ich die Potenzen weggekürzt

= \frac{(2) (2 x - 5) - (6) (x + 1)}{{(2 x - 5)}^{4}}

= \frac{4 x - 10 - 6 x - 1}{{(2 x - 5)}^{4}}

und, was ahbe ich falsch gemacht?

: (

magix aktiv_icon

21:53 Uhr, 27.09.2009

Bevor man etwas "wegkürzen" kann, muss man bei Differenzen und Summen erst einmal ausklammern. Mich macht aber schon der Begriff "Potenzen wegkürzen" ein wenig stutzig. Was verstehst du genau darunter?

sweetangel aktiv_icon

21:56 Uhr, 27.09.2009

Also ich hbae bei

(2 x - 5)

immer

^2

weggekürzt

bla22 aktiv_icon

22:01 Uhr, 27.09.2009

Dann müsste doch aber im Zähler noch das (x+1) auftauchen, oder?

\frac{2 (x + 1) (2 x - 5)^{3} - 6 (2 x - 5)^{2} (x + 1)^{2}}{(2 x - 5)^{6}}

\frac{2 (x + 1) (2 x - 5) - 6 (x + 1)^{2}}{(2 x - 5)^{4}}

magix aktiv_icon

22:12 Uhr, 27.09.2009

Ganz genau.
Und aus Gründen der mathematischen Ordnung bitte erst ausklammern und dann kürzen und nicht so freihändig in Summen rumkürzen. Das geht garantiert öfter mal schief.

sweetangel aktiv_icon

22:16 Uhr, 27.09.2009

JA, das habe ich ausversehen vergessen :-D)
Unser mathelehrer sagt immer, wir sollen erst kürzen :-D)
okay, zur ableitung was muss ich denn jetzt miteinander multiplizieren?

pleindespoir aktiv_icon

22:57 Uhr, 27.09.2009

f (x) = \frac{(x + 1)^{2}}{(2 x - 5)^{3}}

(\frac{u}{v}) ʹ = \frac{u ʹ v - u v ʹ}{v^{2}}

u = (x + 1)^{2}

u ʹ = 2 x + 2

v = (2 x - 5)^{3}

v ʹ = ⅓ (2 x - 5)^{2} \cdot 2

v ʹ = ⅔ (2 x - 5)^{2}

f ʹ (x) = \frac{(2 x + 2) (2 x - 5)^{3} - (x + 1)^{2} ⅔ (2 x - 5)^{2}}{(2 x - 5)^{3} \cdot (2 x - 5)^{3}}

f ʹ (x) = \frac{(2 x + 2) (2 x - 5) - ⅔ (x + 1)^{2}}{(2 x - 5)^{4}}

f ʹ (x) = \frac{4 x^{2} - 6 x - 10 - ⅔ (x^{2} + 2 x + 1)}{(2 x - 5)^{4}}

f ʹ (x) = \frac{3 (4 x^{2} - 6 x - 10) - 2 (x^{2} + 2 x + 1)}{3 \cdot (2 x - 5)^{4}}

f ʹ (x) = \frac{12 x^{2} - 18 x - 30 - 2 x^{2} - 4 x - 2}{3 \cdot (2 x - 5)^{4}}

f ʹ (x) = \frac{10 x^{2} - 22 x - 32}{3 \cdot (2 x - 5)^{4}}

wäre mein Vorschlag ...

m-at-he

01:51 Uhr, 28.09.2009

Hallo pleindespoir,

Vorschlag abgelehnt!

Ich habe mir nicht die Mühe gemacht, auch noch nach eventuell vorhandenen Fehlern beim Ausrechnen der Ableitung nach Quotientenregel zu suchen, da bereits

v'

falsch ist. Wenn gilt:

v (x) = {(2 \cdot x - 5)}^{3}

ist, dann ist

v' (x) = 3 \cdot {(2 \cdot x - 5)}^{2} \cdot 2 = 6 \cdot {(2 \cdot x - 5)}^{2}

pleindespoir aktiv_icon

07:02 Uhr, 28.09.2009

Danke für den Hinweis!

neue Version:

f (x) = \frac{(x + 1)^{2}}{(2 x - 5)^{3}}

(\frac{u}{v}) ʹ = \frac{u ʹ v - u v ʹ}{v^{2}}

u = (x + 1)^{2}

u ʹ = 2 x + 2

v = (2 x - 5)^{3}

v ʹ = 3 (2 x - 5)^{2} \cdot 2

v ʹ = 6 (2 x - 5)^{2}

f ʹ (x) = \frac{(2 x + 2) (2 x - 5)^{3} - (x + 1)^{2} \cdot 6 (2 x - 5)^{2}}{(2 x - 5)^{3} \cdot (2 x - 5)^{3}}

f ʹ (x) = \frac{(2 x + 2) (2 x - 5) - 6 (x + 1)^{2}}{(2 x - 5)^{4}}

f ʹ (x) = \frac{4 x^{2} - 6 x - 10 - 6 (x^{2} + 2 x + 1)}{(2 x - 5)^{4}}

f ʹ (x) = \frac{4 x^{2} - 6 x - 10 - 6 x^{2} - 12 x - 6}{(2 x - 5)^{4}}

f ʹ (x) = \frac{- 2 x^{2} - 18 x - 16}{(2 x - 5)^{4}}

alle Angaben wie üblich ohne Gewähr ...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

651303

650468

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?