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Der Graph einer Ganzrationalen Funktion 3. Grades

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Extrempunkt, Sattelpunkt

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20:53 Uhr, 23.02.2010

Hallo,

Es geht um die Aufgabe Nummer (6).

Ich habe ja einen Extrempunkt

(1

. Ableitung) und einen Wendepunkt

(2

. Ableitung.
Sind die 4 Funktionen wie ich sie bisher habe richtung und kann jetzt mit dem Additionsverfahren beginnen?

Ausgangsfunktion hätte ich dann folgende:

f (x) =

ax^3+bx^2+cx+d

f' (x) =

3ax^2+2bx+c

f'' (x) =

6ax+2b

schonmal danke

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20:58 Uhr, 23.02.2010

Du kannst fast beginnen
Da sind ein paar Vorzeichenfehler drin

{(- 2)}^{2} = + 4

und so...

ergänzung:
I

... + 4 b

+ 2 b .

.
III

+ 6 a

Den Tippfehler in der ersten Ableizung hast du handschriftlich nicht :

. .

+ c

statt

...

+ x

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21:08 Uhr, 23.02.2010

danke dir!

hab nochmal eine allgemeine frage. zun beispiel bei aufgabe nr.1

a)

dort habe ich ja wieder sozusagen 3 punkte und eine information ist ja die steigung

- 3

im punkt

P .

warum musste ich diese steigung nur in die 1. ableitung einsetzen und nicht diese punkte in die ausgangsfunktion.

weil ich am anfang bei der obigen aufgabe die beiden punkte, also den extrempunkt in die 1. ableitung und den wendepunkt in die 2.ableitung gesetzt habe und somit dann nur 2 fukntionen hatte.
warum musste ich diese funktionen vorher noch in die ausgangsfunktion setzen?

hoffe du weisst was ich meine

: \land

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21:12 Uhr, 23.02.2010

Du hast für die Stelle

(x = 2)

zwei Informationen:
1. bei 2 ist eine Nullstelle also

f (2) = 0

2. Steigung

9,

also

f' (2) = 9

edit:
Analog in der ersten Funktion Funktionswert UND Eigenschaft

BTW, soll ich dir die erste schon mal zur Kontrolle geben?
Oder später

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21:16 Uhr, 23.02.2010

wenn du schon hast dann am besten jetzt, bin gerade am gucken mit welchen beiden Funtkionen ich anfange. ich würde sagen I und II wären am sinnvollsten wegen dem

b

oder?

wäre zur kontrolle dann natürlich sehr gut

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21:19 Uhr, 23.02.2010

Ich habe mich von unten nach oben durchgearbeitet
(dann sind es nicht so viele Variablen auf einmal)

f (x) = - \frac{2}{5} x^{3} - \frac{6}{5} x^{2} - \frac{8}{5}

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21:20 Uhr, 23.02.2010

danke

mal gucken ob ich das gleiche rausbekomme, melde mich dann nochmal

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21:39 Uhr, 23.02.2010

habe eben nochmal nachgerechnet aber wie kommst du auf:

II

+ 2 b

III

+ 6 a

bei II wärens ja

Y = a \cdot {(- 1)}^{3} + b \cdot {(- 1)}^{2} + c \cdot (- 1) + d

wären dann meiner meinung nach:

y = - 1 \cdot a + 1 \cdot b - 1 \cdot c + d

oder mache ich was falsch?

und wie kommst du auf III

+ 6 a

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21:49 Uhr, 23.02.2010

UPS, ich hatte anders nummeriert
hast recht

ich kontrolliere bei mir nochmal nach

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21:54 Uhr, 23.02.2010

Wie gesagt:
es gab da Fehler bei mir (lustigerweise funktioniert mein erster Vorschlag laut Funktionsplotter)

Eigentlich kommt aber wohl (eventuell?)

f (x) = x^{3} + 3 x^{2}

raus
Laut Funktionsplotter passt es :-)

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21:57 Uhr, 23.02.2010

die gelb unterstrichenen würd ich sagen sind die richtigen

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22:15 Uhr, 23.02.2010

für a habe ich mit

0,35

ist das richtig?

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22:16 Uhr, 23.02.2010

Bei III hast du bei +2bx das

x

vergessen
steht aber auch in deiner ersten Ableitung nicht drin

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22:18 Uhr, 23.02.2010

ok dann passt der rest ja auch nicht

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22:35 Uhr, 23.02.2010

0,5 = a

?? ist das richtig?

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22:41 Uhr, 23.02.2010

Meine aktuelle Behauptung steht um

21.54

Uhr

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22:49 Uhr, 23.02.2010

hm aus einer anderen quelle soll

0,5

für a richtig sein (muss aber nicht)

soll ich dir mal meine schritte schicken?

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22:52 Uhr, 23.02.2010

a = 0,5

b = 0,5

c = - 4

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22:59 Uhr, 23.02.2010

Ich habe es noch mal in Ruhe durchgerechnet und eine ausführliche Probe gemacht

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4

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23:00 Uhr, 23.02.2010

Bei deinem letzten Vorschlag stimmen

f (- 2) = 0

und

f (- 1) = - 2

nicht
Diese und die beiden anderen habe ich jetzt nochmal konkret nachgerechnet.

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23:06 Uhr, 23.02.2010

oh man das gibts doch nicht, ich habe raus

y = 0,5 x^{3} + 0,5 x^{2} - 4 x - 6

ich habe mal meine rechenschritte mithochgeladen

siehst du vielleicht wo mein fehler liegt? weil

- 4

hast du ja auch raus.

zu deinem post davor, meinst du I und II ?

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23:08 Uhr, 23.02.2010

f'' (- 1) = 0 \Rightarrow - 6 a + 2 b = 0 \Rightarrow b = 3 a

f' (- 2) = 0 \Rightarrow 12 a - 4 b + c = 0 b

ersetzen:

12 a - 12 a + c = 0

also

c = 0

f (- 1) = - 2 \Rightarrow - a + b - c + d = - 2

mit den Sachen von oben:

- a + 3 a + d = - 2

also

d = - 2 - 2 a

f (- 2) = 0 \Rightarrow - 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

mit den Sachen von oben

- 8 a + 12 a - 2 - 2 a = 0 2 a = 2

also

a = 1

daraus folgt

b = 3

und

d = - 4

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23:12 Uhr, 23.02.2010

jetzt steig ich gar nicht mehr durch, muss mal kurz pause machen

melde mich gleich nochmal

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23:13 Uhr, 23.02.2010

Im Prinzip meinte ich I und II:
Wenn ich in deine Gleichung

- 2

einsetze, komme ich nicht auf 0 (soll ich aber)

... ... ... ... ... ... ... ... ... . - 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

- 2

Deine Gleichung IV ist

- 6 a + 2 b = 2

besser wäre

... = 0

deshalb kommst du am Ende des ertsen Zettels auf

a = 0,5

(bei mir

a = 1)

das macht dir den Rest kaputt

(2

und 3 habe ich nicht mehr so angesehen..)

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23:17 Uhr, 23.02.2010

aber bei IV ist es doch der Wendepunkt somit 2. Ableitung und f''=6ax+2b
Wendepunkt

(- 1

und

- 2)

- 2 = 6 \cdot a \cdot (- 1) + 2 \cdot b

oder liege ich falsch

- 2 = - 5 + 2 \cdot b

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23:20 Uhr, 23.02.2010

die zweite Ableitung beim Wendepunkt soll Null sein
Der Punkt selber ist

- 1 | - 2

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23:21 Uhr, 23.02.2010

hm ich dachte

x

wäre

- 1

und

y = - 2

jetzt bin ich verwirrt

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23:26 Uhr, 23.02.2010

Der Wendepunkt selber liegt bei

(- 1 | - 2)

das stimmt (Gleichung II)
Aber das bei

- 1

ein Wendepunkt liegt bedeutet

f'' (- 1) = 0

(notwendige Bedingung für Wendepunkte)

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23:28 Uhr, 23.02.2010

achso, also:
VI:

0 = - 6 \cdot a + 2 \cdot b

und sonst waren die anderen 3 richtig so oder?

werds nochmal nachrechnen

danke

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23:29 Uhr, 23.02.2010

Dann klappts aber auch.

So ich geh' zu Bett, meine Frau schlägt mich sowieso schon...

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23:32 Uhr, 23.02.2010

besten dank!

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