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Differentialquotient von Wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, Differentialquotient, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Wurzel

Aramicou aktiv_icon

14:52 Uhr, 12.10.2016

Stehe völlig auf dem Schlauch bei folgender Aufgabe. Wäre sehr dankbar um jegliche Art von Hilfe.

:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
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Aramicou aktiv_icon

14:55 Uhr, 12.10.2016

Den Differentialquotienten habe ich aufgestellt und erweitert auch. Danach weiss ich aber nicht mehr weiter :-)

ermanus aktiv_icon

15:08 Uhr, 12.10.2016

Vielleicht nützt Dir das Folgende:
Nenne mal

\sqrt[3]{f (x)} = a

, entsprechend

\sqrt[3]{f (x_{0})} = b

.
Dann hast Du

f (x) - f (x_{0}) = a^{3} - b^{3}

. Das kannst Du mit Polynomdivision
durch

a - b

ohne Rest teilen.
Gruß ermanus

Aramicou aktiv_icon

15:20 Uhr, 12.10.2016

Das gibt dann

a^{2} +

+ b^{2}

Und nun?

ermanus aktiv_icon

15:28 Uhr, 12.10.2016

Jetzt weißt Du, dass

a^{3} - b^{3} = (a - b) \cdot (a^{2} + a b + b^{2})

ist,
also Dein Nenner nach der Erweiterung wäre dann - so hoffe ich -

(x - x_{0}) (\sqrt[3]{f (x)} - \sqrt[3]{f (x_{0})}) ({\sqrt[3]{f (x)}}^{2} + \sqrt[3]{f (x)} \sqrt[3]{f (x_{0})} + {\sqrt[3]{f (x_{0})}}^{2})

.
Jetzt solltest Du den mittleren Klammerausdruck gegen den entsprechenden
Faktor im Zähler Deines erweiterten Differenzenquotienten kürzen können.

Aramicou aktiv_icon

16:17 Uhr, 12.10.2016

Und wie geht es dann weiter?
Irgendwie muss man dann doch

x - x 0

wegbekommen...?
Und den Zähler muss man doch auch erweitern??

ermanus aktiv_icon

16:33 Uhr, 12.10.2016

Nach der Erweiterung sollte Dein Differenzenquotient mithilfe meiner Produktzerlegung so aussehen:

\frac{(\sqrt[3]{f (x)} - \sqrt[3]{f (x_{0})}) \cdot (f (x) - f (x_{0}))}{(x - x_{0}) \cdot (\sqrt[3]{f (x)} - \sqrt[3]{f (x_{0})}) \cdot ({\sqrt[3]{f (x)}}^{2} + \sqrt[3]{f (x)} \sqrt[3]{f (x_{0})} + {\sqrt[3]{f (x_{0})}}^{2})}

.
Nach der Kürzung hätte man infolgedessen:

\frac{f (x) - f (x_{0})}{(x - x_{0}) ({\sqrt[3]{f (x)}}^{2} + \sqrt[3]{f (x)} \sqrt[3]{f (x_{0})} + {\sqrt[3]{f (x_{0})}}^{2})}

Siehst Du nun Dein Ziel näherrücken?

Aramicou aktiv_icon

16:38 Uhr, 12.10.2016

Hmm irgendwie verstehe ich es gerade überhaupt nicht mehr

: (

ermanus aktiv_icon

16:39 Uhr, 12.10.2016

Wie sieht denn Dein erweiterter Differenzenquotient aus?

Aramicou aktiv_icon

16:46 Uhr, 12.10.2016

So sieht er aus:

ermanus aktiv_icon

16:51 Uhr, 12.10.2016

Ich ahne, was Du gemacht hast:
Du hast nicht mit

(f (x) - f (x_{0}))

, sondern mit

(\sqrt[3]{f (x)} - \sqrt[3]{f (x_{0})})

erweitert. Damit kommst Du wohl nicht ans Ziel. Erweitere nochmal
mit dem richtigen Faktor, dann verstehst Du sicher besser, was ich meine.

Aramicou aktiv_icon

16:56 Uhr, 12.10.2016

Dann hat man das...
Aber so bin ich auch nicht weiter gekommen..

ermanus aktiv_icon

17:08 Uhr, 12.10.2016

So ist das aber prima.
Nun zerlegst Du den Faktor

(f (x) - f (x_{0}))

im Nenner (bitte nur dort!)
in das Produkt, was wir oben mühevoll erarbeitet haben:

(\sqrt[3]{f (x)} - \sqrt[3]{f (x_{0})}) \cdot (. . .) .

Dann solltest Du doch auf mein Ergebnis von 16:33 Uhr kommen.

michaL aktiv_icon

17:11 Uhr, 12.10.2016

Hallo,

@Aramicou:
Dein Problem ist, dass du versuchst
> Irgendwie muss man dann doch x−x0 wegbekommen...?

Das ist ein Fehlschluss. Du sollst zwar die Kettenregel nicht anwenden, aber sie doch implizit und für diesen Spezialfall herleiten.

Wenn du wie gewünscht erweiterst (so wie in deinem letzten post), dann kannst du
1. die beiden Nenner tauschen,
2. den Grenzwert mit der Multiplikation der beiden Brüche vertauschen und
3. die beiden Grenzwerte genauer betrachten.

3.a) der erste Grenzwert (mit den Wurzeln) kann gemäß ermanus gekürzt werden und dann gebildet werden.
3.b) sollte dir bekannt vorkommen.

Mfg Michael

Aramicou aktiv_icon

17:14 Uhr, 12.10.2016

Dann bekommt man folgendes:

ermanus aktiv_icon

17:15 Uhr, 12.10.2016

Wo ist in Deinem Zähler

f (x) - f (x_{0})

hin verschwunden?

Aramicou aktiv_icon

19:08 Uhr, 12.10.2016

Was meint ihr dazu?

http//www2.pic-upload.de/img/31887550/IMG_4619.jpg

]

Aramicou aktiv_icon

19:11 Uhr, 12.10.2016

www.pic-upload.de/view-31887550/IMG_4619.jpg.html

ermanus aktiv_icon

19:13 Uhr, 12.10.2016

Das sieht doch gut aus. Und wenn Du nun noch den Limes des ersten Bruches
anders hinschreibst ?

Aramicou aktiv_icon

19:15 Uhr, 12.10.2016

Hmm, kann man den umformen bzw. ersetzen?
Fällt mir ehrlich gesagt nichts dazu ein...
Ahh achso!! Vielen Dank! Die erste Ableitung müsste dies sein, oder? :-)

ermanus aktiv_icon

19:17 Uhr, 12.10.2016

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht ;-)
Das ist doch

f ´ (x_{0})

Aramicou aktiv_icon

19:22 Uhr, 12.10.2016

Dies ist nun die Lösung?
Vielen herzlichen Dank für die Hilfe! Sehr lieb :-)

ermanus aktiv_icon

19:24 Uhr, 12.10.2016

Klar! Vergleiche doch mit dem anzustrebenden Ergebnis!
Gruß ermanus

Aramicou aktiv_icon

19:39 Uhr, 12.10.2016

Vielen herzlichen Dank! :-)
Hat mir sehr geholfen und verstehe nun die Aufgabe!

Gruss und schönen Abend

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