Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Doppelte Nullstelle und Extremwert

Doppelte Nullstelle und Extremwert

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwert, Kurvendiskussion, Nullstellen

online aktiv_icon

16:31 Uhr, 07.10.2009

hallo allerseits.
Ich muss morgen eine Aufgabe präsentieren und die lautet:
"Zeigen Sie anhand der Funktion

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x,

dass eine doppelte Nullstellen einer ganzrationalen Funktion immer eine Extremstelle dieser Funktion ist und somit der Graph der Funktion die x-Achse an dieser Stelle nur berührt und nicht schneidet"

Mein Ansatz war erstmal die Nullstellen von der Ableitung auszurechnen und die lauten

x 1 = 2

x 2 = \frac{1}{3}

Aber wie mache ich weiter? Wie kann ich beweisen, dass diese Funktion an einer Nullstelle den Graphen nur berührt und nicht schneidet?

Würde mich über euere Hilfe sehr freuen...
MFG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie bestimmt man die Extrempunkte eines Funktionsgraphen?

Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion II

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion II

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion III

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades II

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Spieler5 aktiv_icon

16:35 Uhr, 07.10.2009

Eine doppelte Nullstelle ist automatisch der Beweis, dass die Funktion die x-Achse nur berührt und nicht schneidet.

Also ich denke du musst nurnoch die Nullstellen berechnen, das geht indem du

x

ausklammerst und dann PQ-Formel anwendest.

online aktiv_icon

16:48 Uhr, 07.10.2009

OK, ich habe mich ein bisschen durchgebissen und habe folgendes rausgekriegt.

Die Nullstellen der Ableitung sind x1=2(TP) und x2=1/3(HP). Wenn ich die

2

in die Ausgangsformel einsetze, also

f (2) = 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2,

kommt da Null raus.
Da an der Stelle 2 ein Tiefpunkt ist und der y-Wert 0 ist, kann es die 0 nur berühren und nicht schneiden.
Was mich an dieser Aufgabe aber irretiert ist das Wort "immer". Muss man irgendwie eine allgemein gültige Definition für doppelte Nullstellen finden?

P . S

. Korregiert mich bitte, wenn meine Ansätze falsch sind...

Spieler5 aktiv_icon

16:53 Uhr, 07.10.2009

Dieses "immer" hat mich auch ein weinig irritiert, aber was du machen sollt weiß ich nicht.

Jedenfalls kannst du die Nullstellen noch berechnen:

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x

0 = x (x^{2} - 4 x + 4)

0 = x (x - 2) (x - 2)

x_{1} = 0

x_{2} = 2

x_{3} = 2

online aktiv_icon

17:04 Uhr, 07.10.2009

Ok, ich danke dir, ich werde das morgen dann einfach so präsentieren in der Hoffnung, dass der Lehrer dieses Wort nich weiter beachtet :-)

656330

656308

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?