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Exponentialfunktionen

Schüler

Tags: Ableitung, e-Funktion, ln-Funktion

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11:54 Uhr, 02.04.2017

Einen schönen Guten Tag!

Ich muss in drei Tagen in meinem Mathekurs eine Aufgabe vorstellen zu dem Thema "Exponentielle Funktionen". Die Aufgaben habe ich alle fertig gelöst, da in dem Buch, aus der ich die Aufgabe habe, gleichzeitig die Erklärung zu der Lösung steht. Allerdings verstehe ich bei einzelnen Aufgaben nicht warum man die Ableitung benutzt. ALso erstmal hier die Aufgaben:

Das Höhenwachstum zweier Kletterbohnensorten I, II wird durch folgende Funktionen erfasst:

h 1 (t) = 180 - 150 e^{- 0,05 t}

h 2 (t) = 10 e^{0,1 t}

t =

Zeit in Tagen

h =

Höhe in cm

a)

Wann ist eine Bohne der Sorte I

1 m

hoch? Bestimmen Sie einen Näherungswert für den Zeitpunkt an dem beide Sorten gleich hoch gewachsen sind.

(hier werde ich die Lösung nicht darstellen, weil mir hier die Lösung klar ist.)

b)

Sorte I wächst zur Zeit

t = 0

mit einer Geschwindigkeit von

7,5

cm/Tag. Wann erreicht Sorte II diese Geschwindigkeit?

c)

Zu welchem Zeitpunkt sind die Wachstumsgeschwindigkeiten beider Sorten gleich?

Wie gesagt ich habe die Aufgaben schon gelöst, trotzdem habe ich zu Aufgabe

b)

und

c)

eine Frage. Um meine Fragen zu verständlichen, zeige ich noch meine Lösungen verkürzt auf:

b)

h 1 (t) = 180 - 150 e^{- 0,05 t}

h' 1 (t) = 7,5 e^{- 0,05 t}

h 2 (t) = 10 e^{0,1 t}

h' 2 (t) = e^{0,1 t}

hier habe ich für

h' 2 (t) = 7,5

eingesetzt

7,5 = e^{0,1 t}

ln (7,5) = 0,1 t

ln 7,5 : 0,1 = t

20,15 = t

Nach

20,15

Tagen wächst die Sorte II mit einer Geschwindigkeit von 7.5cm/Tag.

Hier nun meine Frage: Mir ist nicht ganz schlüssig warum man die

7,5

für

h' 2 (t)

einsetzt und ich verstehe nicht, warum man hier die Ableitung benutzt.

c)

h' 1 (t) = h' 2 (t)

7,5 e^{- 0,05 t} = e^{0,1 t}

7,5 = e^{0,1 t} : e^{- 0,05 t}

7,5 = e^{0,15 t}

t = 13,43

Tage

Bei

13,43

Tagen wachsen beide Sorten mit gleicher Geschwindigkeit.

Hier eine ähnliche Frage wie bei

b) :

Wieso benutzt man hier die Ableitungen?

Ich hoffe mir kann jemand hier helfen. Ich sitze hier schon sehr lange dran und im Internet finde ich keine zur Aufgabe passende Antwort.

Vielen Dank im Vorraus!

P . S

. Im Anhang befindet sich ein Bild von der Seite mit den Aufgaben und ein Bild von den Funktionen in grafischer Darstellung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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