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Herleitung der Scheitelpunktform

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Herleitung, quadratische Ergänzung., Scheitelpunktform

AndiDT aktiv_icon

20:25 Uhr, 14.12.2019

Hallo zusammen,

ich hätte mal eine Frage zur Herleitung der Scheitelform einer Parabel. Grundsätzlich sind mir zwei Wege bekannt. Zum einen die Herleitung

(1)

aus der Ableitung der allgemeinen Form einer qadratischen Gleichung und zum anderen die Herleitung mittels quadratischer Ergänzung

(2)

. Der erste Weg ist mir klar, der zweite nicht so ganz.

Zu

1)

Man bildet die Ableitung von

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

und setzt diese

0,

da die Steiung im Scheitelpunkt null ist. Man erhält: Xs

= (- \frac{b}{2 \cdot a})

. Anschließend dies in die allg. Form der quadrat. Gleichung einsetzen und man erhält Ys

= c - (\frac{b^{2}}{4 \cdot a})

. Ergibt Sinn für mich.

Zu

2)

Wenn man die quadratische Ergänzung in der allg. Form der quadratischen Gleichung durchführt, das Binom bildet und die Terme zusammenfasst, erhält man:

y = a \cdot {(x + \frac{b}{2 \cdot a})}^{2} + \frac{4 \cdot a \cdot c - b^{2}}{a}

. Nun zu meiner Frage. Wieso kann man aus dem ersten Term Xs ablesen? In meinen Recherchen sah es für mich immer so aus, als wenn sich dies aus der allg. Form der Scheitelpunktform ergibt. Aber wenn ich diese doch erst damit herleite, kann ich diese Form doch noch gar nicht kennen und folglich auch nicht anwenden, oder sehe ich das etwas falsch?

Vielen Dank und Grüße,
Andreas

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