Integral Ableiten (Grenzen des Integrals?)

Hallo liebe Forenmitglieder.
Habe gerade ein Brett vorm Kopf oder ähnliches und morgen eine Leistungskursklausur. Und zwar sind wir zur Zeit in der Analysis zugangen mit Integralen etc.
Nun habe ich hier eine Aufgabe, man solle den Term der 1ten Ableitung von

${\displaystyle {\int }_3^{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}\sqrt{{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-5}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

bestimmen.

Die Stunde in der besagtes Thema gemacht wurde war ich krank, war aber der Meinung das nachgeholt zu haben. Ich wurde eines besseren belehrt ;)

Ich habe sogar schon eine Lösung (bin mir nicht sicher ob sie richtig ist, von einem Mitschüler), aber/und ich verstehe sie nicht, und zwar

${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^6-5}\cdot 3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

Erstens lernte ich (Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung), die Ableitung des Integrals ist der Integrand:

${\displaystyle \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\int \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Aber demnach müsste die Ableitung ja (einfach) nur das sein was als Integrand schon da steht: ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-5}}$

Wieso ist das nicht so, wieso muss ich (nur) die eine Grenze des Integrals einsetzen, und wieso differenziere ich nur mit der Grenze nach und nicht mit dem Inneren der Wurzelfunktion beispielsweise?

Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt aber bezweifle es leider gerade ein bisschen... tut mir Leid für den Fall. Für Nachfragen stehe ich auf jeden Fall sofort zur Verfügung.

Mit freundlichen Grüßen

Cashney

P.S.: Der Formeleditor hat das Seitenbild ein wenig verhunzt aber ich glaube es ist trotzdem alles klar zu lesen.