Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Integralrechnung - Flächenberechnung

Integralrechnung - Flächenberechnung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Fläche, Halbierende, Integral, Parabel

Kimi93 aktiv_icon

17:52 Uhr, 02.02.2010

Hallo!
Diesmal hat uns unser Lehrer eine etwas schwere Aufgabe gegeben (zumindest für uns) um uns auf das Leistungskursniveau vorzubereiten.
Die Fläche unter der Parabel

f (x) = 3 - 3 x^{2}

soll durch eine horizontale Gerade halbiert werden. Wo liegt diese?

Ich habe zuerst die Nullstellen berechnet:

x 1 = 1

und

x 2 = - 1

Habe dann eine Stammfunktion bestimmt

F (x) = 3 x - x^{3}

und die Fläche unter der Parabel im Interval

[- 1; 1]

berechnet. Da habe ich 4 FE rausbekommen. Also ist die Hälfte 2FE.
So nun komme ich aber nicht weiter. Ich hatte die Idee, dass man die Gerade dann als x-Achse sehen könnte. Da hat man ja aber auch die Schnittpunkte nicht. Mh...ich komm einfach nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?
Lg Kimi

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Berechnung eines Flächenstücks

Wie bestimmt man eine Fläche mit dem Integral?

Wie bestimmt man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion, der x-Achse und zwei Grenzen a und b?

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Integrieren mit Substitution

Wie integriert man mithilfe der Substitution?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel?

Schnitt Gerade - Parabel

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen einer Parabel und einer Geraden?

Schnitt Parabel - Parabel

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen zwei Parabeln?

Schnitt Parabel - Koordinatenachsen

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen?

Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Logarithmusfunktion?

Stammfunktion einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

vulpi aktiv_icon

18:08 Uhr, 02.02.2010

Hi, die Gerade

g (x) = k

halbiert die Fläche.

Diese halbe Fläche kannst du wiederum als Differenz der Integrale
von der Parabel und der Geraden darstellen.
Und zwar in den Grenzen der Schnittpunkte beider Funktionen.

\int (- 3 x^{2} + 3) - K d x

Der linke Term ist die Parabel, davon abgezogen die Gerade

g (x) = K

Der Schnittpunkt mit der waagerechten Geraden dürfte nicht allzu schwer sein.

Tipp:
Diese Parabel ist eine gerade Funktion, also symmetrich zur x-Achse.
Also reicht es, die ganza Sache nur für die rechte Seite für die halbe Fläche zu machen!
Also von 0 bis

x_{s}

Das erspart lästiges Rechnen mit negativen Grenzen.
Die Fläche selber ist eh nicht gefragt, und da wo die Gerade die ganze Fläche halbiert, halbiert sie logischer Weise auch die (symmetrische) Hälfte.
mfg

Kimi93 aktiv_icon

18:18 Uhr, 02.02.2010

die parabel war doch aber

f (x) = - 3 x^{2} + 3

? und nicht

f (x) = - 3 x^{2} + x!

die schnittpunkte mit der waagerechten sind ja gerade mein problem, ich weiß ja garnix über diese gerade, also wo sie liegt und so.
und das integral von

K

is doch aber nicht genauso so groß wie die fläche der parabel unter der halbierenden, oder wie meinst du das??

vulpi aktiv_icon

18:33 Uhr, 02.02.2010

Hi, meinen Tippfehler hab´ich korrigiert.

Wie gesagt, ich würd´s mit der rechten Hälfte rechnen, weil gespiegelt.

Also die Fläche unter der Parabel von

0 - 1

ist 2

Die Fläche zwischen Parabel und der Geraden

g (x) = K

muß dann 1 sein

\int_{0}^{s} - 3 x^{2} + 3 - K = 1

\Rightarrow

- x^{3} + (3 - K) x |_{0}^{s} = 1 \Rightarrow

[- s^{3} + (3 - K) \cdot s] - [0] = 1 \Rightarrow

- s^{3} + (3 - K) s - 1 = 0

oder auch

s^{3} + (K - 3) s + 1 = 0

Außerdem ist

K = f (s) \Rightarrow

- 3 s^{2} + 3 = K

=>(eingesetzt)

s^{3} + s (- 3 s^{2} + 3 - 3) + 1 = 0

s^{3} - 3 s^{3} = - 1

- 2 s^{3} = - 1

s^{3} = 0.5

s = \sqrt[3]{0,5}

ich hoff, ich hab´micht nicht verrtan

mfg

Kimi93 aktiv_icon

18:55 Uhr, 02.02.2010

ok ich probiers damit mal. meld mich dann wieder.

Kimi93 aktiv_icon

19:17 Uhr, 02.02.2010

Danke! ich habs verstanden ;-)
Also habe ich jetzt den Schnittpunkt der Geraden mit der Parabel. Wenn ich diesen Punkt jetzt in die Ausgangsgleichung einsetze, dann erhalte ich den Punkt auf der y-Achse, wo die Gerade liegt, richtig? das wäre dann

y = 1,11

(rund).

718259

718187

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?