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Komplexes Wegintegral mit Symmetrie berechnen
Universität / Fachhochschule
Komplexe Analysis
Tags: Einheitssphäre, Integral, Komplexe Analysis, Kosinus, Symmetrie
 
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Hallo zusammen, ich finde für folgende Aufgabe nicht den leisesten Ansatz: "Bestimme durch eine Symmetrieüberlegung." Hierbei handelt es sich um ein komplexes Wegintegral. Also und = } ist die Einheitssphäre. Bislang habe ich den Einheitskreis durch , parametrisiert und das Ganze in die Definition vom komplexen Wegintegral eingesetzt, also = = Ich weiß einfach nicht, wo ich hier wie die Symmetrie ausnutzen soll... ich vermute, es ist, um den Integranden zu vereinfachen (der sieht recht wüst aus, sobald man die Definition der komplexen Kosinusfunktion (der Ausdruck über die e-Funktion) eingesetzt hat. Für den Kosinus habe ich, glaube ich, zeigen können, dass auch in den komplexen Zahlen cos(z) = cos(-z) gilt. Ansonsten ist die Einheitssphäre ja symmetrisch... aber ich sehe einfach nicht wo und wie mir das helfen soll. Ich habe aus anderen Übungen, die sich auf reelle Integrale beschränken, im Kopf, wie man z.B. mithilfe der Symmetrie im Kreis das Integral des Einheitskreises bestimmt. Oder bei der Betragsfunktion kann man ja auch die Symmetrie ausnutzen... Aber auf analoge Überlegungen komme ich für die oben gestellte Aufgabe auch nicht... Wäre froh um Hilfe, gerne auch ausführlicher... ich brüte nun schon länger hierüber und will endlich wissen, wie es funktioniert. Danke schon mal an alle, die mir helfen möchten! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff) Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff) Additionstheoreme Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Symmetrie von Vierecken |
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Hallo Fliege, darf man den Residuensatz verwenden? Gruß ermanus |
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Den hatten wir leider noch nicht... :-( |
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Aber vielleicht die Laurentreihen ... |
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Kommen erst noch... waren auch noch nicht dran :-/ Wir haben wirklich nur die Definition des komplexen Wegintegrals gelernt und das war es auch schon... |
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Man könnte es auch so versuchen: da wir uns auf der Einheitskreislinie befinden, gilt für die -Werte: . Läuft nun im Gegen-Uhrzeigersinn um die 0, dann läuft im Uhrzeigersinn um die 0. Man müsste also das Wegintegral als interpretieren können. In einer Kreisscheibe um den Ursprung mit z.B. dem Radius 1,5 sollte der Integrand holomorph sein, so dass das Integral nach dem Integralsatz von Cauchy = 0 ist. Gruß ermanus |
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Super, vielen Dank. An die Integralformel hatte ich noch gar nicht gedacht, vielleicht, weil wir sie auch wirklich gerade erst gelernt haben und die Übungsaufgabe schon älter ist... Aber der Ansatz klingt wirklich nach einer Vereinfachung durch die Symmetrie, sodass man kein wüstes Integral berechnen muss :-D). Die anderen beiden Ansätze schaue ich mir nochmal an, wenn wir die nötigen Sätze und Definitionen gelernt haben :-D). |
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Hallo, noch eine kleine Bemerkung von mir: ich meine nicht die Integralformel, sondern den Integralsatz ;-) LG ermanus |
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Hallo, zerlege den Kreis in 2 Teile: und nutze die Symmetrie des . Gruß pwm |
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Ja, prima! Das ist noch elementarer. |
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