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Komplexes Wegintegral mit Symmetrie berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Einheitssphäre, Integral, Komplexe Analysis, Kosinus, Symmetrie

 
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Fliege

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07:59 Uhr, 24.03.2020

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Hallo zusammen,

ich finde für folgende Aufgabe nicht den leisesten Ansatz:

"Bestimme

S111+cos(1/z)dz

durch eine Symmetrieüberlegung."

Hierbei handelt es sich um ein komplexes Wegintegral. Also z und S1 = {z:z=1} ist die Einheitssphäre.

Bislang habe ich den Einheitskreis durch γ:[0,1], γ(t)=e2πit parametrisiert und das Ganze in die Definition vom komplexen Wegintegral eingesetzt, also

S111+cos(1/z)dz
= γ11+cos(1/z)dz
= 012πie2πit1+cos(1/e2πit) dz

Ich weiß einfach nicht, wo ich hier wie die Symmetrie ausnutzen soll... ich vermute, es ist, um den Integranden zu vereinfachen (der sieht recht wüst aus, sobald man die Definition der komplexen Kosinusfunktion (der Ausdruck über die e-Funktion) eingesetzt hat.
Für den Kosinus habe ich, glaube ich, zeigen können, dass auch in den komplexen Zahlen cos(z) = cos(-z) gilt. Ansonsten ist die Einheitssphäre ja symmetrisch... aber ich sehe einfach nicht wo und wie mir das helfen soll.
Ich habe aus anderen Übungen, die sich auf reelle Integrale beschränken, im Kopf, wie man z.B. mithilfe der Symmetrie im Kreis das Integral des Einheitskreises bestimmt. Oder bei der Betragsfunktion kann man ja auch die Symmetrie ausnutzen... Aber auf analoge Überlegungen komme ich für die oben gestellte Aufgabe auch nicht...

Wäre froh um Hilfe, gerne auch ausführlicher... ich brüte nun schon länger hierüber und will endlich wissen, wie es funktioniert.

Danke schon mal an alle, die mir helfen möchten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ermanus

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08:53 Uhr, 24.03.2020

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Hallo Fliege,
darf man den Residuensatz verwenden?
Gruß ermanus
Fliege

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09:36 Uhr, 24.03.2020

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Den hatten wir leider noch nicht... :-(
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ermanus

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09:44 Uhr, 24.03.2020

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Aber vielleicht die Laurentreihen ...
Fliege

Fliege aktiv_icon

13:57 Uhr, 24.03.2020

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Kommen erst noch... waren auch noch nicht dran :-/ Wir haben wirklich nur die Definition des komplexen Wegintegrals gelernt und das war es auch schon...
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ermanus

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14:25 Uhr, 24.03.2020

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Man könnte es auch so versuchen:
da wir uns auf der Einheitskreislinie befinden, gilt für
die z-Werte: 1z=z. Läuft z nun im Gegen-Uhrzeigersinn
um die 0, dann läuft 1z im Uhrzeigersinn um die 0.
Man müsste also das Wegintegral als ±11+cos(w)dw
interpretieren können. In einer Kreisscheibe um den Ursprung
mit z.B. dem Radius 1,5 sollte der Integrand holomorph sein,
so dass das Integral nach dem Integralsatz von Cauchy = 0 ist.
Gruß ermanus
Frage beantwortet
Fliege

Fliege aktiv_icon

17:33 Uhr, 24.03.2020

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Super, vielen Dank. An die Integralformel hatte ich noch gar nicht gedacht, vielleicht, weil wir sie auch wirklich gerade erst gelernt haben und die Übungsaufgabe schon älter ist... Aber der Ansatz klingt wirklich nach einer Vereinfachung durch die Symmetrie, sodass man kein wüstes Integral berechnen muss :-D). Die anderen beiden Ansätze schaue ich mir nochmal an, wenn wir die nötigen Sätze und Definitionen gelernt haben :-D).
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ermanus

ermanus aktiv_icon

17:59 Uhr, 24.03.2020

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Hallo,
noch eine kleine Bemerkung von mir:
ich meine nicht die Integralformel, sondern den Integralsatz ;-)
LG ermanus
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pwmeyer

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18:00 Uhr, 24.03.2020

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Hallo,

zerlege den Kreis in 2 Teile:

t[12π,32π],teit

t[12π,32π],t-eit=eiπ+it

und nutze die Symmetrie des cos.

Gruß pwm

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ermanus

ermanus aktiv_icon

18:03 Uhr, 24.03.2020

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Ja, prima! Das ist noch elementarer.