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Kurvendiskussion bzw. Nullstellen berechnen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: berechnen, Formel, Kurvendiskussion, Nullstellen, Polynomdivision, Substitution
 
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Guten Tag, ich absolviere zurzeit meine allgemeine Hochschulreife und befinde mich in der Einführungsphase. Vorher bin ich auf einer Gesamtschule gegangen und habe dort meine mittlere Reife mit Berechrigung zur gymnasialen Oberstufe mit einem Durchschnitt von erhalten und hatte im Fach Mathematik am Ende eine obwohl ich in der Abschlussarbeit eine 5 geschrieben habe. Im jetzigen Halbjahreszeugnis habe ich 3 Punkte in Mathe, was einer entspricht. Ich bin (leider) nicht faul oder sonstiges, sondern habe seit Jahren erhebliche Schwierigkeiten mit dem Verstehen der Mathematik, was sich natürlich auch auf andere Fächer überträgt, wie . Physik. Zu bemerken ist, dass ich in der 5. und 6. Klasse überhaupt keine Probleme mit Mathematik hatte und der Klassenbeste war mit jeweils einer in Mathematik und Naturwissenschaften. Vor einigen Wochen habe ich nun auch noch Nachhilfe genommen. Bisher lohnt es sich sehr, auch wenn es bei mir sehr lange dauert. Aktuell bearbeiten wir in der Schule das Thema Koeffizientenbestimmung (Stichprobenaufgabe). Der Lehrer ist nicht mehr der Jüngste, dass er schon seit über Jahren auf dieser Schule arbeitet. Gewöhnlich verstehe ich leider dieses neue Thema nicht. Das vorherige Thema Kurvendskussion ist an mir auch total vorbeigegangen, deshalb möchte ich mich erstmal damit befassen. Unser Leher gab uns 8 Punkte vor. 0. Die Ableitungsfunktionen, was ich in der Nachhilfe gelernt habe. Bei Funktionen mit Brüchen und Wurzeln muss ich dennoch überlegen. 1. Der Definitionsbereich, der bei uns bisher immer war. Ich weiß noch nicht mal, was genau das bedeuten soll. steht glaube ich dafür, dass man alle Zahlen für einsetzen kann. 2. Die Symmetrie. Unser Lehrer möchte, dass wir diese schon anhand der Funktion abgucken können. Dies kann ich auch, sprich gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie und gerade und ungerade Exponenten = keine Symmetrie. 3. Nullstellen berechnen. Das Thema ist selbst auf der Gesamtschule bei mir vorbeigegangen. Ganz einfache Gleichungen schaffe ich aber wir müssen dann noch die pq-Formel anwenden, dann schweben in meiner Mappe noch die Polynomdivison, die Substitution und das Aditionsverfahren herum. Ich bin total verwirrt und überfordert. 4. Extrema (mit Nachweis). Keine Ahnung. 5. Wendepunkte (mit Nachweis). Keine Ahnung. 6. Limes-Verhalten. Irgendetwas mit ∞ und ∞- Keine Ahnung, was das bedeuten soll. 7. Zeichnung. Qualitativ und quantitativ. Keine Ahnung. Man sieht, dass ich total zurückliege. Ich fange immer mit kleinen Schritten an und habe auch erst in 2 Stunden die Ableitungsfunktionen verstanden. Die Nullstellen muss ich also berechnen. Ich gebe mal ein Beispiel an. x³-12x²+45x-50 0. 3x²-24x+45 1. 2. Keine Symmetrie, da ³ und ². 3. Wie soll ich jetzt vorgehen? Erstmal nullsetzen? Ich habe leider keinen Schimmer. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Mitternachtsformel Polynomdivision Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Grenzwerte im Unendlichen Nullstellen Nullstellen bestimmen Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Grenzwerte im Unendlichen Nullstellen Nullstellen bestimmen |
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Hallo, deine Frage scheint ja ein etwas größeres Unterfangen zu werden, nun denn: 1. bedeutet, dass der Definitionsbereich die reellen Zahlen sind, also alle reelle zahlen in die Funktion "eingesetzt" werden dürfen. Es gibt Ausdrücke, die den maximalen Definitionsbereich einschränken können (wenn wir mal bei den reellen zahlen bleiben), bspw darfst du keine negativen Zahlen in eine Wurzel einsetzen, zudem ist der logarithmus nur für positive Zahlen definiert, außerdem gilt die goldene Regel, dass durch Null nicht geteilt werden darf, bei muss somit die Null aus als Definitionsbereich, rausgelassen werden. 2. Dein Schluss: "gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie und gerade und ungerade Exponenten = keine Symmetrie" ist falsch. Bei eine rganzrationalen funktion respetive einem Polynom kannst du anhand von nur gearden Exponenten auf Achsensymmetrie zur y-Achse und mit nur ungeraden Exponenten auf Punktsymmetrie zum Ursprung schließen, ok. Aber wenn sowohl gerade als auch ungerade Exponentenenthalten sind, kann die Funktion immernoch symmetrisch sein, nur eben nicht Achsensymmetrisch zur y-Achse und Punktsymmetrisch zum Urpsung. Als Beispiel seien mal alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades erwähnt, wie eben auch dein Beispiel unten. Sie sind ALLE punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt (wo auch immer der liegt), fällt der Wendepunkt mit dem Ursprung zusammen, hat man eben keine geraden Exponenten. 3. Naja, du liest da schon ein paar Verfahren von deinen Unterlagen ab, da musst du auf jeden fall nacharbeiten. Pq-Formel ist einfaches Lernen der Formel, mit ein bisschen Übung sitzt sie und ist absolutes Standardwerkzeug im Abitur. Polynomdivision benötigst du vor allem bei Gleichungen die einen höheren Grad als zwei haben und bei denen du sonst kein geschicktes Verfahren anwenden kannst. (Diese hier zu erklären ist zu platzfüllend) Für Substitution gilt Ähnliches, du musst es dir angucken. 4. Dazu gibt es Bedingungen die erfüllt werden müssen. Die müssen bei dir irgendwo stehen (ansonsten findest du sie im Internet, bspw. Wikipedia). 5. Dasselbe wie bei 4. 6. Der Limes steht für die Annäherung an bestimmte Werte, also hierbei, wollen wir uns einem bestimmten "x-Wert" annähern, nur dass es hier kein fester Wert ist, sondern wir schauen was passiert, wenn wir in die Funktion immer größere Werte für einsetzen und immer negativere Werte . Da ist immer logisches Überlegen angesagt, Übung macht den Meister. 7. Zeichnung... Ich weiß nicht was qualitativ/uantitativ konkret bedeutet aber eine zeichnung muss drinne sein, benutze die oben ermittelten Sachen und fertige - falls nötig - zusätzlich eine Wertetabelle an. So nun zu der konkreten Aufgabe. Ich nehme an die Funktion heißt "f " 1. Bei diesen ganzrationalen Funktionen ist der maximale Definitionsbereich immer korrekt. 2. Wie bereits oben erwähnt, ist die Funktion symmetrisch aber weder zum Ursprung noch zur y-Achse. 3. Die Bedingung für die Nullstellen ist: genau und diese resultierende Gleichung musst du lösen. Und da benötigst du auch schon die Polynomdivision, da du die pq-Formel nur bei quadratischen Gleichungen anwenden kannst und du hier kein ausklammern kannst. |
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Dein Text: "Der Lehrer ist nicht mehr der Jüngste, dass er schon seit über Jahren auf dieser Schule arbeitet. " WAS willst Du damit sagen ? |
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Der Satz mit dem Lehrer ist nicht negativ zu verstehen. Dieser Lehrer ist wirklich sehr gut, was seine mathematischen Kenntnisse betrifft. Ich habe mal gefragt bezüglich der Polynomdivision und er sagte einfach, dass ich einfach auf die Tafel gucken soll. Für Ihn ist es verständlicherweise Grundsatz aber ich verstehe grundsätzlich kein Thema beim ersten Mal. Das mit den Nullstellen mithilfe der Polynomdivision werde ich jetzt mal probieren. Meine Lösung werde ich dann posten bzw. meine Probleme. Hilfreich war es auf jeden Fall nur gibt es meiner Meinung nach so viele Verfahren und Bedingungen, sodass ich den Überblick verliere. Ich muss jetzt erstmal wieder klein anfangen. Auch die Umstellung von der Gesamtschule zum Gymnasium war bzw. ist schwierig. Ich kannte sonst immer nur und auf einmal im Gymnasium heißt es . Wofür sind denn genau die Ableitungsfunktionen? Mein Lehrer sagte, dass es so sei und auch mein Nachhilfelehrer sagt, dass nur gerade Exponenten auf eine Achsensymmetrie, nur ungerade Exponenten auf eine Punktsymmetrie und beides auf keine Symmetrie schliesst. Ich kann auch mal alles hier meinen Nachhilfelehrer zeigen. Er kann es mir nämlich bisher sehr gut erklären. |
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@kdorow: Gesamtschule/Realschule und Gymnasium . dazwischen liegen Welten. Erstere bereiten eher auf eine Berufsausbildung vor, die Gymnasien auf ein Studium. Somit muss es schon unterschiedliche Anforderungen geben. Deine anfänglichen Schwierigkeiten sind normal und verständlich. In relativ kurzer Zeit musst Du auch vieles nachholen, was die Gymnasiasten in den letzten Jahren bereits an Unterrichtsstoff hatten. Dein Nachhilfelehrer wird Dir dabei sicherlich eine große Hilfe sein. Viel Erfolg wünscht Dir Ma-Ma. |
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Poste ruhig mal deine Rechenwege. Dass es einige Verfahren gibt ist richtig (und gut) um eine Übersicht und die nötige Sicherheit darin zu bekommen hilft nur eines Üben, ohne geht es nicht, selbst wenn ich dir alles erkläre, kannst du es immernoch nicht komplett anwenden. Die Ableitungen beschreiben bestimmte Eigenschaften von Funktionen. Du könntest dir bspw. die Funktion und ihre Ableitung ansehen. beschreibt die Steigung von wenn der Graph ansteigt (einen Bogen nach oben macht), dann ist die Ableitung hier auch positiv, denn die Steigung ist positiv. Für bspw. Extremstellen gibt es die notwendige Bedingung Das liegt daran, dass hier die Steigung einfach 0 sein muss, die Überlegungen kannst du dir ja zu gegebener Zeit machen. Wenn das deine Lehrer genau so gesagt haben, garantiere ich dir, dass sie definitiv falsch liegen. Ein gegenbeispiel habe ich oben angeführt, ich gehe davon aus, dass sie es nicht genauso aber für die dich vielleicht ähnlich klingend formuliert haben. Wenn du einen Nachhilfelehrer hast, sollst du natürlich mit ihm über deine probleme sprechen, besonders wenn er dir gut hilft, das ist in direkter/persönlicher Interaktion auch wesentlich sinnvoller, als in einem Forum. Dennoch darfst du hier natürlich weiter fragen. @ Ma-Ma: Dazwischen liegen nicht zwangsläufig Welten, das halte ich für übertrieben und zu pauschal. Ein Abitur ist im Übrigen immer die Voraussetzung für ein Studium, obwohl es heutzutage anders "genutzt" wird, deswegen muss eine Gesamtschule auch im Abitur auf ein Studium vorbereiten, ich habe mein Abitur auf einer Berufsschule erlangt und ich wurde recht ordentlich für das Studium vorbereitet. Dennoch ist es durchaus richtig, dass man etwas nacharbeiten muss wenn man wechselt, auch wenn es merkwürdig klingt. |
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Ich habe mal die Beispielaufgabe abfotografiert. Genauso hat es unser Lehrer an die Tafel geschrieben. Natürlich weiß ich, dass die Lösungen dort stehen aber wie man es genau gemacht habe verstehe ich nicht. Bei der Polynomdivison: (x³-12x²+45x-50) ist klar, das ist einfach die Funktion aber woher kommt das ?      |
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0 hattest du bereits 1. fehlt, hatten wir aber shcon geklärt. 2. Hier fehlt die Antwort zur Symmetrie, die wäre ja interessant gewesen. 3. Nullstellen, wie bereits erwähnt musst du Polynomdivision anwenden, eigne sie dir an und du wirst da eher durchblicken. Zunächst wurde hierbei die Nullstelle "geraten", also durch probieren herausgefunden. Mit dieser wird dann die Polynomdivision durchgeführt: ? Also der Term links von der Null (links vom Gleichheitszeichen) geteilt durch minus die geratene Nullstelle. Dann hast du bereits eine geratene Nullstelle und das Ergebnis liefert einen quadratischen Ausdruck, um hiervon weitere Lösungen zu finden, kann man die pq-Formel benutzen. Für die weiteren Berechnung setzt du entsprechend der Bedingungen erst die Ableitungen Null und errechnest Lösungen und prüfst sie mittels hinreichendem Kriterium. (Die Bedingungen sind einfach nachzulesen) Bei der Zeichnung wurde (soweit ich es interpetieren kann) ein sinnvoller Bereich ausgewählt, indem gezeichnet wird. Die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte liegen alle in diesem Bereich, das heißt, das Wesentliche ist hier abgebildet. |
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Alles klar. Jetzt ist schon mal einiges verständlicher :-) Was soll eigentlich dieses komische bei 7. bedeuten? Hatte ich auch noch nie. Zur Polynomdivison: Die Funktion einfach 0 setzen, dann links die normale Funktion einer "geratenen" Zahl. Sollte man mit bestimmten Zahlen anfangen oder ist es wirklick egal? Wenn ich jetzt bei der Beispielaufgabe 4 probiere kommt doch eine ganz andere Lösung raus? Das ist mir noch nicht klar. |
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Mir fällt gerade noch etwas auf, bei 6. ist die Lösung falsch. geht nicht für und gegen . Das hieße, dass die Funktion für hohe und höhere positive Werte (irgendwann) immer weiter wächst und dasselbe im negativen, das ist falsch, denn der Verlauf für negatives ist . Ich glaube da sollte eher stehen: das heißt in Worten "x ist Element des Bereiches 1 bis 6.". Und dieses in sagt eben, dass also alle Zahlen die du einsetzt in dieser menge liegern. Bspw. heißt einfach, dass du für jede reelle Zahl einsetzen kannst. Zur Polynomdivision, es ist nicht immer links die Ausgangsfunktion. Stell dir vor du musst zweimal hintereinander Polynomdivision anwenden (das gibt es), dann nimmst du die Funktion und teilst sie und erhälst ein Ergebnis, dann tweilst du nicht nochmal die Funktion sondern das Ergebnis. Das nur der Vollständigkeit halber. Bei ganzzahligen Koeffienten hilft es sich die Teiler (ganze Zahlen) des letzten Summanden anzusehen. Im obigen Beispiel lautet der Summand ohne der ist leider recht hoch, die Teiler sind: und und und 5 und 2 und 1 und (theoretisch auch 0 aber das sollte eigentlich uninteressant sein) Wie du siehst, sind sogar alle Nullstellen die am Ende rauskommen in dieser Liste vertreten. Wäre der Summand jetzt 6 gewesen wäre es einfacher, dann blieben nur also wesentlich weniger, das ist aber ein erster Anhaltspunkt. Im Wesentlichen ist es aber schon rumgerate, wenn man noch kein Auge dafür hat. |
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Bei 7. steht auch xE1|6] :-) Vielleicht ist meine Ratlosigkeit verständlicher, wenn ich schreibe, dass mein Lehrer immer nur die Lösungen ohne jegliche Rechnung an der Tafel haben möchte und ich dann nichts nachvollziehen kann. Ich sehe dann, wie geschrieben, einfach nur die Lösungen an der Tafel, deshalb finde ich dieses Forum hier so gut. Die Polynomdivison ist schon mal nachvollziehbar. Jetzt weiß ich wenigstens, was ich grob alles machen muss. Ein paar Übungsaufgaben werde ich morgen mal machen. Wenn wir jetzt mal 4. angucken, die Extrema mit Nachweis. Dort steht jetzt x²-8x+15 . Wo kommt das denn jetzt her? |
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Ich sehe es aber das ist eine falsche Notation, Mengen werden nicht mit durchgezogenem Strich dargestellt (normalerweise). Zu dem Extrema. Die notwendige Bedingung lautet: Und Also lautet die Gleichung: das kannst du nun durch 3 teilen damit du erhälst, damit kommst du auf die Gleichung in der Lösung. |
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Achso. Jetzt verstehe ich diese Bedingungen. Dies sind also die Ausgangsfunktionen für den jeweiligen Punkt? Bei 3. ist es ja und bei 4. Nun schreibe ich einfach bei dass die Bedingung ist und teile es jetzt in der Beispielaufgabe durch damit ich x² habe. Dies ist dann die Grundlage für die pq-Formel? Also für die Extrema: 1. 3x²-24x+45 x²-8x+15 x²-8x+15=0 2. 3. -4+√16-15 Also die Bedningungen sind bei jeder Funktion gleich? Mein Nachhilfelehrer sagt immer, dass ich bei meinem Taschenrechner eine Klammer vergesse und somit falsche Werde bei der pq-Formel herauskriege. Ich muss seltsamerweise immer zwei Klammern hintereinander machen oder so. Ich kaufe mir mal einen besseren :-) |
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Du darfst " " nicht weglassen. So sähe es korrekt aus: Notw. Bed. pq-Formel . Die Bedingungen für Nullstellen, Extrema usw. sind immer gleich, dir sollte nur klar werden warum. Wenn du dir die Nullstellen mal ansiehst. liefert ja y-Werte eines Punktes, auch Funktionswerte genannt, wie lauten denn die Funktionswerte von Nullstellen? Das ist ja eben Null, also wir suchen die Funktionswerte Null, somit . ps: Manches könntest du ja auch im Kopf rechnen, und die Wurzel sind ja machbar. Aber mach womit du dich wohl fühlst (ich bin nur kein Fan von Taschenrechnern, die schon alles ausrechnen können, dann lernt man weniger bis garnichts.). |
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Stimmt, das habe ich vergessen. Bei 5. ist die Bedinungen also oder? Wie geht es jetzt weiter? Auf dem Blatt stehen einfach die und y-Werte danach ohne Rechnung. Hut ab, dass du dich um diese Uhrzeit damit noch auseinandersetzt :-) PS: Die Ableitungen mache ich, wenn möglich, im Kopf und kleinere Rechnungen natürlich auch. Ein Problem, was ich schon immer hatte ist, wenn ich . und soetwas in der Art rechnen muss. Das dann noch mit negativen Brüchen oder Wurzeln und dann steht nicht auf dem Taschenrechner Syntax-Error, sondern bei mir :-P) Mein Taschenrechner ist aber wirklich seltsmam. Bei Brüchen gibt es kein Bruchstrich, sondern einfach nur unten rechts so eine Ecke. |
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Bei 5. ist das nur eine Bedingung, du musst bedenken, dass eine Lösung von nicht reicht, dasselbe gilt bei Extremwerten für Lösungen der Gleichung es gibt hier noch hinreichende Kriterien. Bei Extremstellen ist das oft: TP und HP Hierbei symbolisiert deine gefundene(n) Lösung(en). Für Wendepunkte gilt neben der notwendigen Bedingungen zusätzlich auch eine mögliche hinreichende Bedingung: . Also bei da musst du jetzt aber mal drauf kommen, das ist so leicht, dass du vor lauter pq-Formeln und Polynomdivisionen, die Lösung nicht siehst. ;-) Man gönnt sich ja sonst nichts. :-) Lange mache ich aber nicht mehr, ich muss ja morgen auch wieder zur Uni. |
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Diese Rechnung ist aber recht einfach, ein bisschen Übung dann lachst du darüber. Wie gesagt, wenn du mit dem Taschenrechner üerhaupt nicht klar kommst, dann musst du ihn wohl wechseln. (Bruchstriche werden bei mir auch so dargestellt, bereitet mir aber keine Probleme, man gewöhnt sich dran) |
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Okay, jetzt ist mein Zenit für heute überschritten :-) Bedingungen, Bedingungen, Bedingungen. . Also. Ok. Ich fange an. Hier ist es! :-) Wo kommt auf dem Blatt den jetzt noch diese und her? Dann kommt 5 und 3 raus und dann steht da noch irgendwie yE1=0 und yE2=4. |
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Das mit den Bedingungen musst du dir nochmal in Ruhe ansehen, die merkst du dir recht schnel, wenn du mehrere Aufgaben machst. Bei meintest du aber doch wohl Jetzt sind wir wieder bei den Extremstellen. Die pq-Formel-Rechnung war ja: Das ist aber einfach und was ist ? Das ist einfach dann steht dort: Somit und Die Werte sind ja dann nur noch die zugehörigen y-Werte zurm x-Wert (Ein Punkt besteht ja immer aus und Wert), setze die x-Werte in die Ausgangsfunktion ein, also bspw. und du erhälst die Werte. |
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Ich bin wieder da und rechne jetzt mal mit einer anderen Funktion. f(x)=x³-7x²+15x-9 0. f'(x)=3x²-14x+15 1. 2. Keine Symmetrie 3. Nullstellen: xa=1 (x³-7x²+15x-9):(x-1)=x² -(x³ Wie sieht es bisher aus? Was muss ich jetzt tun? -7x²*x-1? |
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0. ist richtig 1. auch Bei 2. gilt weiterhin mein kritikpunkt (auf diesen bestehe ich), die Funktion ist lediglich nicht Achsensymmetrisch zur y-Achse und nicht Punktsymmetrisch zum Urpsung aber Punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt. 3. Du rechnest erst: "Aktueller Summand" durch irgendwas, in diesem Fall Und im nächsten Schritt rechnest du zurück, das Ergebnis, also multiplizierst du mit damit erhälst du . Dann erhälst du in der zeiten Zeile: Dann subtrahierst du die ersten beiden Summanden (aus Zeile mit denen aus Zeile 2. Es sollte rauskommen, du ziehst den nächsten Summanden (aus der ersten zeile) runter und schreibst ihn direkt daneben, aus wird . Und damit fängst du von vorne an, du teilst nun durch das und schreibst das Resukltat zum Gesamtergebnis und rechnest mit nur dem Ergebnis aus diesem einen Schritt wieder zurück wie vorher. |
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