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Kurvendiskussion ohne pq-Formel/Polynomdivision

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion, Nullstellen, Polynomdivision

danny95 aktiv_icon

15:09 Uhr, 20.10.2012

Hallo,

folgende Kurvendiskussion soll ich durchführen:

f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - 1,5 x^{2}

Zunächst bilde ich immer alle drei Ableitungen (auch wenn man das später machen könnte):

f' (x) = 1,5 x^{2} - 3 x

f'' (x) = 3 x - 3

f''' (x) = 3

Dann mache ich den y-Achsenabschnitt:

f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} - 1,5 \cdot {(0)}^{2} = 0

Sy liegt also bei

(0 | 0)

Jetzt sind die Nullstellen dran - und hier hapert es noch bei mir. Es gibt da ja viele Möglichkeiten, die auszurechnen. Die eine wäre, mit der Polynomdivison zu rechnen und anschließend die die pq-Formel anzuwenden. Meine Formel für die Polynomdivison würde dann so aussehen:

f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - 1,5 x^{2} + 0 x + 0

Ich müsste also die zwei Nullen dazu tun. Mein Mathelehrer bevorzugt aber eine andere Rechweise, also ohne pq-Formel und Polynomdivison. Natürlich nur dann, wenn es die Aufgabe hergibt, so wie diese hier.

Meine Frage: Wie rechne ich mit quadratischer Ergänzung die Nullstellen raus? Ausklammern/Ausmulitplizieren war auch immer mal wieder ein Thema, ich kriege das aber irgendwie nicht auf die Kette. Habe bisher immer Polynom und pq-Formel gemacht. Bin über jede Hilfe dankbar. Aber ich muss vorwarnen: Ich bin etwas schwer von Begriff und bräuchte einen exakten Lösungsweg.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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Underfaker aktiv_icon

15:23 Uhr, 20.10.2012

Es ist:

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) = 0

Ein produkt wird Null wenn einer der Faktoren Null wird, betrachte also:

x^{2} = 0

und

\frac{1}{2} x - \frac{3}{2} = 0

danny95 aktiv_icon

15:25 Uhr, 20.10.2012

Und wie komme ich auf die zweite Nullstelle, 3?

Hat das nichts mit Ausklammern, Ausmultiplizieren oder quadratische Ergänzung zu tun? Wann kommen denn dann diese Rechenarten zum Einsatz?

Underfaker aktiv_icon

15:29 Uhr, 20.10.2012

Ich habe oben ausgeklammert und habe doch geschrieben prüfe

x^{2} = 0

(doppelte Nullstelle bei Null) und

\frac{1}{2} x - \frac{3}{2} = 0

was kommt denn hier raus?

danny95 aktiv_icon

16:26 Uhr, 20.10.2012

Noch mal zu dem Ausklammern:

Wenn ich das dann so mache:

x^{2} (\frac{1}{2} x - 1,5) = 0

Zu dem Ausklammern: Warum nicht

- 1,5 x

. Wenn das vorher

1,5 x^{2}

war, wird da doch nur ein

x

weggenommen oder nicht?

Woher weiß ich, dass das

x

gleich 0 ist? Ist das immer so?

Und bei letzterer Aufgabe kommt nicht 3 raus. Das verstehe ich noch nicht.

Underfaker aktiv_icon

16:31 Uhr, 20.10.2012

Ich habe doch nciht

x

sondern

x^{2}

ausgeklammert.

Das wäre:

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} = x (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x) = x \cdot x (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})

ok?

Die Gleichung

x^{2} = 0

ist halt sehr einfach, wann wird

x^{2}

Null, eben wenn wir für

x

Null einsetzen.

Und

\frac{1}{2} x - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = 3

danny95 aktiv_icon

16:40 Uhr, 20.10.2012

Danke! Sollte man denn immer mit

x^{2}

ausklammern?

Wie schreibt man das denn richtig auf? Geht das so?

x^{2} = 0 |

Wurzel aus 2 Ziehen

x 1 = 0

x 2 = 0

?

Und dann habe ich die drei Nullstellen,

(0 | 0), (0 | 0)

und

(3 | 0)

Underfaker aktiv_icon

16:45 Uhr, 20.10.2012

Du klammerst das

x

mit dem höchsten Exponenten aus, dass in jedem Summanden vorkommt.

Beispiele:

x^{2} + x = 0

Welches

x

taucht in jedem Summanden auf? Das ist das einfache

x,

also klammerst du

x

aus

x^{3} + x^{2} = 0

Hier taucht in jedem Summanden wenigstens

x^{2}

auf, deshalb klammerst du das aus

x^{2} - 1 = 0

hier taucht

x

nicht in jedem Summanden auf, deshalb klammern wir hier garnicht aus.

Naja

x^{2} = 0

dann kannst du auch sofort schreiben

x_{1,2} = 0

das ist so offensichtlich, da braucht es keine rechenschritte mehr.

danny95 aktiv_icon

16:52 Uhr, 20.10.2012

Vielen Dank!

Underfaker aktiv_icon

16:55 Uhr, 20.10.2012

Gern geschehen, viel Erfolg weiterhin.

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