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Maximum einer Exponentialfunktion ermitteln
Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen,
Tags: Ableitung, Exponential funktion, Wachstum
 
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Hi, ich hab eine Frage zur folgenden Aufgabe: eine Pflanze wächst nach dem Gesetz H(t)=2/(1+4⋅e^(-k⋅t)) ist die nach Tagen erreichte Höhe. berechnen sie wenn Tage nach Versuchsbeginn die Höhe der Pflanze beträgt. (Lsg: wie groß ist die Höhe zu Versuchsbeginn? die hab ich rausbekommen (Lsg: wie viele Tage nach dem Versuchsbeginn hat sich die Höhe der Pflanze verdoppelt? (Lsg: ca. Tagen) bis hierhin hab ichs auch ohne weitere Probleme geschafft, jetzt kommt aber mein Problem: An welchem Tag ist der Höhenzuwachs maximal? das heißt im Prinzip ja Funktion ableiten, und dann setzen, und dann eben auf umformen, ist das richtig so? meine Ableitung die ich rausbekommen habe lautet: (entschuldigt dass das so komisch aussieht, der Term sollte einfach unter dem Bruch stehen) Naja und jetzt komm ich zu meinem Problem: Wenn ich jetzt setze, kann ich den Nenner ja einfach multiplzieren und der sollte somit ja direkt vernachlässigbar sein! ? dann hätt ich also noch: und da müsste jetzt irwie ein maximales Wachstum am . Tag rauskommen (laut Lösung), ich hab aber überhaupt keine Ahnung wie das möglich sein soll. Wo liegt hier mein Fehler? vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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Wenn der Höhenzuwachs maximal sein soll, musst du das Maximum der Ableitung suchen, also H''(t)=0 setzen. mfg, Ché Netzer |
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Falsch gedacht, auch deine Ableitung ist falsch. Der Nenner muss quadriert werden ! Die Wachstumsgeschwindigkeit ist durch die erste Ableitung gegeben, die maximale Wachstumsgeschwindigkeit also durch eine Nullstelle der Ableitung der ersten Ableitung, also insgesamt eine Nullstelle der zweiten Ableitung. Das ist eine ziemlich aufwändige Rechnung, Ergebnis müsste sein. Beim logistischen Wachstum (so heißt diese Funktion) ist immer der Wendepunkt der entscheidende. Zeichne die Funktion, dann siehst du klarer. |
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vielen Dank hab es vom Lösungsweg her verstanden, und ja du hast Recht der Nenner gehört natürlich quadriert, das hatte ich vergessen einzutippen. Also nehm ich jetzt die erste Ableitung, leite die nochmal ab und dann setz ich die Null, vom Prinzip her klar, aber irwie scheiter ich jetzt bei der 2en Ableitung. Ich hab dafür rausgekriegt: ist das wirklich so aufwendig?, wenn ich das jetzt nämlich Null setze bleib ich irwo hängen, weil ich meine Exponentialfunktion irwie nicht faktorisieren kann. Könntest du mir deine Vorgehensweise zeigen? modedit] Habe die Darstellung so angepasst wie es aussehen sollte (Voraussetzung; es war schon vorher korrekt niedergeschrieben) |
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also ich hab die 2e Ableitung nochmal nachgerechnet, denke die stimmt so. Weiters bin ich so vorgegangen dass ich auf gleichen Nenner gebracht habe um den gesamten Nenner loswerden zu können. Dadurch erhalte ich: 0 = -8*k²*e^-k*t*(1+4*e^-k*t)+64*k²*e^-k*t*2 Dann habe ich 8k²*e^-k*t herausgehoben: 0 = 8*k²*e^-k*t *(-1*(1+4*e^⁻k*t)) + 8*e^⁻k*t Das herausgehobene 8*k²*e^⁻k*t kann man dann ja ebenso wegdividieren. Also bleibt noch stehen: 0 = -1+4*e^-k*t + 8*e^-k*t Also damit ich jetzt mein 4*e^-k*t herausheben kann hab ich das -1 auf die andre Seite gebracht: 1 = 4*e^-k*t * (1+2) dann hab ich das (1+2)*4 auf die andre Seite gebracht: 1/12 = e^-k*t Tja und jetzt fehlt ja eigentlich nur mehr logarithmieren also: ln(1/12) = -k*t somit für t: t = ln(1/12) / -k mit dem richtigen k komm ich somit auf ne falsche Lösung nämlich statt der 31 auf 55 Tage. Kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe? Finde den Fehler irwie nicht. |
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upps, hatte nen Vorzeichenfehler beim Ausmultiplizieren (Kopfschüttel)... Somit, komm ich zur Lösung: t = ln(1/4)/-k was zur korrekten Lösung von 31Tagen führt. Danke für die Hilfe! |
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