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Probleme mit Quotientenregel und Ableitungen

Schüler

Tags: Ableitung, Gebrochen-rationale Funktionen, Quotientenregel

Mathebloeder aktiv_icon

20:47 Uhr, 03.01.2013

Seid gegrüßt!

Ich verzweifele gerade an folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion f und g mit Hilfe des hinreichenden Kriteriums der zweiten Ableitung.

f : x \to \frac{x ²}{x - 1}

g : x \to \frac{2 - x ³}{2 x}

Ich habe nun ziemliche Probleme mit dem Aufstellen der Ableitung.
Hier einmal mein Ansatz:

f : x \to \frac{x ²}{x - 1}

\frac{2 x * (x - 1) - 1 x ²}{(x - 1) ²}

\frac{2 * (x - 1) * x - x ²}{(x - 1) ²}

\frac{2 x - x ²}{(x - 1) ²}

f'(x) =

\frac{2 x - x ²}{(x - 1) ²}

Nun brauche ich ja noch die 2. Ableitung. Nur bin mir ich mir nicht einmal sicher, ob ich die 1. richtig bestimmt habe. O.o
Wäre super, wenn mal jemand drübergucken könnte und mir ggf. erklären könnte, was ich falsch gemacht habe, bzw. wie man es richtig macht. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Ableiten mit der h-Methode
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anonymous

20:55 Uhr, 03.01.2013

Erstes Beispiel: Vorzeichen

Eva88 aktiv_icon

20:58 Uhr, 03.01.2013

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

u = x^{2}

u' = 2 x

v = x - 1

v' = 1

f' (x) = \frac{2 x \cdot (x - 1) - (x^{2} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}}

f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 2 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

0 setzen

x^{2} - 2 x = 0

x (x - 2) = 0

x 1 = 0

x 2 = 2

Jetzt mit

f'' (x)

überprüfen.

rundblick aktiv_icon

21:00 Uhr, 03.01.2013

Tipp:

manchmal hat man es hinterher einfacher, wenn man zuerst etwas umformt

\to

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1} = x^{2} : (x - 1) = x + 1 + \frac{1}{x - 1} = x + 1 + {(x - 1)}^{- 1}

jetzt summandenweise ableiten

. .

\to f' (x) =

\to

f"(x)= ?

g (x) = \frac{2 - x^{3}}{2 x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} = x^{- 1} - \frac{1}{2} \cdot x^{2}

\to g' (x) =

\to

g"(x)= ?

usw, usw,..

Mathebloeder aktiv_icon

21:19 Uhr, 03.01.2013

Vielen Dank für Eure schnellen Antworten!

Wenn ich das richtig sehe, scheint wenigstens mein erster Rechenschritt richtig zu sein. (Oder gibt's etwa einen Unterschied zwischen "x² * 1" und "1x²") ? :-P)

Dann versuch ich mich jetzt mal an der 2.

f ʹ (x) = \frac{x ² - 2 x}{(x - 1) ²}

u = x² - 2x
u'= 2x - 2
v = (x-1)²
v' = 2x

f ʺ (x) = \frac{2 x - 2 * (x - 1) ² - x ² - 2 x * 2 x}{(x - 1)^{4}}

Ist das so richtig aufgestellt?

Eva88 aktiv_icon

21:22 Uhr, 03.01.2013

mach aus

{(x - 1)}^{2}

mal

x^{2} - 2 x + 1

Mathebloeder aktiv_icon

21:25 Uhr, 03.01.2013

Habe ich also das v falsch angegeben?
Ich dachte das v beschreibt den Nenner?

Eva88 aktiv_icon

21:26 Uhr, 03.01.2013

f'' (x) = \frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}

Mathebloeder aktiv_icon

21:32 Uhr, 03.01.2013

Vielen dank für deine Hilfe!

Ich denke, nun sollte ich's allein hinkriegen. :-) Muss nur nun leider weg und werde mich daher morgen nochmal mit der Aufgabe befassen.

Wäre noch super, wenn Du mir erklären könntest warum statt (x - 1)²
x² - 2x + 1 ?

Beschreibt das v nicht den Nenner?

rundblick aktiv_icon

21:33 Uhr, 03.01.2013

f (x) = x + 1 + {(x - 1)}^{- 1}

f' (x) = 1 - {(x - 1)}^{- 2}

f"(x)

= 2 \cdot {(x - 1)}^{- 3} = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

Erklärung siehe oben...

Eva88 aktiv_icon

21:36 Uhr, 03.01.2013

Weil es sich leichter ableiten läßt

x^{2} - 2 x + 1

ist abgeleitet

2 x - 2

{(x - 1)}^{2}

ist

1 \cdot (x - 1) \cdot 2

ist auch

2 x - 2

.

Oben ist einfacher

Mathebloeder aktiv_icon

21:54 Uhr, 04.01.2013

Hmm. So ganz verstanden hab ich's anscheinend doch noch nicht. :-(

Habe mir den Thread eben nochmal durchgelesen und ein paar Verständnisprobleme mit folgendem:
In der ersten Antwort von Eva88 hieß es:

f ʹ (x) = \frac{(2 x ² - 2 x) - x ²}{(x - 1) ²}

f ʹ (x) = \frac{x ² - 2 x}{(x - 1) ²}

Ist nicht aber 2x² - 2x = x und nicht x² ?
Sollte es dann nich eher so heißen:

\frac{x - x ²}{(x - 1) ²}

?
Und was hat es mit dem Ergebnis von "rundblick" auf sich? Das unterscheidet sich ja von dem anderen.

Davon abgesehen habe ich nochmal versucht die Rechnung aufzulösen aber scheitere irgendwie immer. Nochmal meine komplette bisherige Rechnung:

f : x \to \frac{x ²}{x - 1}

\frac{2 x * (x - 1) - 1 * x ²}{(x - 1) ²}

\frac{(2 x ² - 2 x) - x ²}{(x - 1) ²}

\frac{x ² - 2 x}{(x - 1) ²}

f'(x) =

\frac{x ² - 2 x}{(x - 1) ²}

2. Ableitung:
f''(x) =

\frac{x ² - 2 x}{(x - 1) ²}

\frac{(2 x - 2) * (x - 1) ² - 2 * (x - 1) * (x ² - 2 x)}{(x - 1)^{4}}

= ???

Nun habe ich irgendwie enorme Probleme das ganze zu vereinfachen, bzw. zusammenzufassen.
Auch mit Eva's Tipp, die (x-1)² anders zu schreiben, kam ich nicht auf die Lösung. :(

Wäre super, wenn mir nochmal jemand helfen könnte :-)

Und vielen dank nochmal!

anonymous

22:01 Uhr, 04.01.2013

Bei

f'' (x)

könntest du im Zähler

(x - 1)

herausheben und dann durch

(x - 1)

kürzen.
Im verbleibenden Term fällt dann einiges weg.

f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

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22:07 Uhr, 04.01.2013

Danke für deine Antwort!
Meinst du so:

f''(x) =

\frac{x ² - 2 x}{(x - 1) ²}

\frac{(2 x - 2) * (x - 1) ² - 2 * (x ² - 2 x)}{(x - 1)^{3}}

anonymous

22:13 Uhr, 04.01.2013

Nein, eher so:

f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \cdot (2 \cdot x - 2) - (x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 2 \cdot (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}} =

= (x - 1) \cdot \frac{(x - 1) \cdot (2 \cdot x - 2) - 2 \cdot (x^{2} - 2 \cdot x)}{{(x - 1)}^{4}} =

= \frac{2 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 2 \cdot x + 2 - 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x}{{(x - 1)}^{3}} = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

anonymous

22:20 Uhr, 04.01.2013

Und so sieht der Graph aus:

Mathebloeder aktiv_icon

22:26 Uhr, 04.01.2013

Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob ich das so machen soll. O.o
Denn soweit ich das sehe, hast du nicht die Quotientenregel auf die 1. Ableitung angewendet oder?

Auch wenn's vllt ein bisschen blöd klingt, würde ich doch lieber meinen alten Rechenweg weiterverfolgen. :-) Den konnt ich bereits ganz gut nachvollziehen und war ja auch eigentlich kurz vorm Ziel.

Doch sollte das nichts werden habe ich ja jetzt wenigtens eine Alternative bzw. eine Probe. :-) Vielen dank nochmal.

anonymous

22:28 Uhr, 04.01.2013

Ich habe die Quotientenregel angewendet.
Das Reduzieren kann natürlich auf mehrfache Weise erfolgen, das Endergebnis muss aber das gleiche sein.

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22:34 Uhr, 04.01.2013

Uff.. Irgendwie scheint es immer komplizierter zu werden. :-D)
Heißt das dann, dass Eva's Ergebnis bzw. der ganze Rechenweg (

f ʺ (x) = \frac{2 x - 2}{(x - 1)^{4}}

) falsch ist?

Ich wollte nun die Quotientenregel auch auf die 1. Ableitung anwenden (Siehe meine Antwort um 21:54 Uhr) und da kann es doch eig nur eine Möglichkeit geben oder?

anonymous

22:37 Uhr, 04.01.2013

Es ist genau das Gleiche, denn:

\frac{2 \cdot x - 2}{{(x - 1)}^{4}} = \frac{2 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot {(x - 1)}^{3}} = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

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22:46 Uhr, 04.01.2013

Ahhh okay. Gut das hab ich nun verstanden. :-)
Du hättest trotzdessen nicht zufällig die Lust, mir beim nächsten Rechenschritt bei meiner Rechnung (Beitrag um 21:54 Uhr) zur 2. Ableitung zu helfen? :-D)
Eig müsste ich ja nur noch zusammenfassen, doch irgendwie hakt es da. :-(

Glaube die Rechnung kam mir bisher einfacher vor, bzw. ich konnte sie besser nachvollziehen. Trotzdem aber nochmal ein großes Danke für deine Mühe!

anonymous

22:57 Uhr, 04.01.2013

Deine zweite Ableitung war ja richtig.

f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \cdot (2 \cdot x - 2) - (x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 2 \cdot (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}

Wenn du nicht herausheben willst, dann rechne den Zähler einfach aus und du wirst eben

\frac{2 \cdot x - 2}{{(x - 1)}^{4}}

erhalten

Mathebloeder aktiv_icon

01:06 Uhr, 05.01.2013

Jetzt ist der Knoten endlich geplatzt. :-D)
Ich kam mit dem zusammenzählen langsam etwas durcheinander. Kann die Lösung jetzt aber nachvollziehen.
Vielen dank für deine/Eure Hilfe nochmal.

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