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Tipps für das Lösen von Grenzwerten mit Sin/Cos

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Analysis, Grenzwert, Kosinus, lim, MATH, Sinus

Cecero aktiv_icon

14:42 Uhr, 21.10.2016

Hallo alles zusammen!

Ich würde gerne wissen, ob jemand Tipps oder Hilfestellungen kennt, mit denen man Grenzwerte in denen Sinus und Kosinus vorkommen, lösen kann.
Zurzeit bin ich bei dem Grenzwert

lim \to 0

für die Funktion

\frac{1 - {cos}^{3} (x)}{x \cdot sin (x)}

und weiß überhaupt nicht, wie und wo ich da ansetzen soll. Die Funktion muss ja irgendwie so umgeformt werden, dass man das ausrechnen kann. Das Ergebnis müsste laut Buch

\frac{3}{2}

sein. Kann mir dabei jemand helfen? Mein Buch liefert leider nur 2 Beispiele für das Lösen von Grenzwerten mit einfachen Funktionen...

: (

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Ableiten mit der h-Methode
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

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\frac{\infty}{\infty}

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Loewe1

15:06 Uhr, 21.10.2016

Hallo,

Du hast hier einen Ausdruck

\frac{0}{0}

und kannst die Regel von

L'

Hospital anwenden,

Weitere Grundlagen siehe hier:

http//www.mathebibel.de/regel-von-lhospital

Das bedeutet, Du leitest den Zähler und Nenner GETRENNT solange ab , bis Du nicht

mehr

\frac{0}{0}

hast , In diesem Fall sind das 2 Mal

Du hast dann für den Zähler:

3 ({cos}^{3} (x) - 2 cos (x) {sin}^{2} (x))

für den Nenner:

2 cos (x) - x sin (x)

Wenn Du dann 0 einsetzt ,kommst Du auf den angegebenen Wert.

Cecero aktiv_icon

15:10 Uhr, 21.10.2016

Danke für die schnelle Antwort!
Ich hätte diese Aufgabe in der Prüfung jetzt auch mit Hospital gelöst, das Problem ist allerdings, dass Hospital laut meinem Mathebuch erst

100

Seiten später erklärt wird, und all diese Aufgaben demnach eigentlich durch Umformungen gelöst werden müssten

: (

Es wird aber leider nicht genau erklärt wie.

Ich denke, ich werde die anderen Aufgaben auch einfach mit der Regel lösen.

Danke nochmals

ledum aktiv_icon

12:01 Uhr, 22.10.2016

Hallo
im Allgemeinen hilft wie immer bei

\frac{0}{0}

L'Hopital. meist mehrfach, dabei helfen oft umformen,

z : b

von

{cos}^{3} (x)

siehe de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
Gruß ledum

Loewe1

20:48 Uhr, 23.10.2016

Hallo,

{cos}^{3} (x) = \frac{1}{4} (3 cos (x) + cos (3 x))

Wenn man dann 0 einsetzt , erhält man

\frac{0}{0}

Es ist fraglich, ob diese Aufgabe wirklich ohne L'Hospital gelöst werden kann?

abakus

21:33 Uhr, 23.10.2016

1-cos³x=(1-cosx)(1+cosx+cos²x) wäre eventuell auch noch ein Einstieg.
Ich könnte mir auch vorstellen, den Term mit sinx zu erweitern und dann in

\frac{s i n x}{x} \cdot \frac{1 - c o s^{3} x}{s i n^{2} x} = \frac{s i n x}{x} \cdot \frac{s i n^{2} x + c o s^{2} x \cdot (1 - c o s x)}{s i n^{2} x}

zu zerlegen.

anonymous

22:01 Uhr, 23.10.2016

Hallo
Eine weitere Lösungsmöglichkeit ganz ohne l'Hospital wäre die über die Reihenentwicklungen der

sin -

cos-Funktionen:

sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - . .

cos (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - . .

abakus

22:18 Uhr, 23.10.2016

Meine Zerlegung von 21:33 Uhr funktioniert. Im hinteren Teil fehlt noch die Umformung

\frac{1 - c o s x}{s i n^{2} x} = \frac{(1 - c o s x) (1 + c o s x)}{(1 + c o s x) s i n^{2} x} = \frac{s i n^{2} x}{(1 + c o s x) s i n^{2} x} = \frac{1}{1 + c o s x}

Loewe1

22:22 Uhr, 23.10.2016

Hallo,

es soll doch aber

\frac{3}{2}

herauskommen.
@kreadoor

das mit den Reihen weiß ich, ich denke aber in diesem Kapitel geht es wohl nicht darum.

abakus

22:30 Uhr, 23.10.2016

Der hintere Bruch lässt sich doch zerlegen in

\frac{s i n^{2} x}{s i n^{2} x} + \frac{c o s^{2} x (1 - c o s x)}{s i n^{2} x}

, und der erste Summand ergibt schon mal 1.
Der Grenzwert des zweiten Summanden liefert die noch fehlenden 0,5.

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